A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os…

Questão

A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a [FUVEST 2009 - Questão 76] FUVEST - 2009

1. A) 3v3
2. B) 2v3
3. C) 3v3/2
4. D) v3
5. E) v3/2

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Cada hexágono regular de lado 1 pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado 1, e cada um desses triângulos tem área raiz de 3 / 4. Logo, a área de um hexágono pequeno é 6 vezes raiz de 3 / 4, ou seja, 3 vezes raiz de 3 / 2. Passo 2: Como a área pedida é raiz de 3 / 2, ela corresponde a exatamente 2 desses triângulos equiláteros de lado 1, isto é, a 1/3 da área de um hexágono pequeno. Passo 3: Essa correspondência se obtém ao observar, na figura, como o pentágono hachurado é formado por partes de hexágonos pequenos, encaixando-se nos triângulos de lado 1 que compõem a malha dos hexágonos. Ao contar esses triângulos, o total do pentágono hachurado resulta em 2 triângulos, e portanto em raiz de 3 / 2. Passo 4: Por isso a alternativa E está correta. A alternativa A (3 raiz de 3) é grande demais, pois equivale a quase duas vezes a área de um hexágono pequeno. A alternativa B (2 raiz de 3) também supera a área de um hexágono pequeno. A alternativa C (3 raiz de 3 / 2) é exatamente a área de um hexágono pequeno inteiro, o que não cabe em um pentágono de parte de hexágonos. A alternativa D (raiz de 3) corresponde a 4 triângulos de lado 1, quantidade que não coincide com o pentágono hachurado.

💡 Dica: Use propriedades dos hexágonos regulares para calcular áreas relativas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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