O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4/3 do volume da pirâmide SEFGH é [FUVEST 2015 - Questão 49] FUVEST - 2015
- A) 2 cm
- B) 4 cm
- C) 6 cm
- D) 8 cm
- E) 10 cm
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os volumes envolvidos. O paralelepípedo ABCDEFGH tem base ABCD de área 5 x 4 = 20 cm² e altura AE = 2 cm, logo seu volume é 20 x 2 = 40 cm³. Como S está na reta que passa por A e E, a pirâmide SABCD tem base ABCD e altura igual à distância de S ao plano ABCD. Passo 2: Escolha a posição de S e nomeie a medida. Para que o sólido seja a união do paralelepípedo com a pirâmide SABCD, S deve estar no prolongamento de EA, do lado oposto a E em relação à base ABCD. Assim, a altura de S ao plano da base é SA = x. Passo 3: Calcule a pirâmide SABCD. Seu volume é (1/3) x 20 x x = 20x/3. Passo 4: Calcule a pirâmide SEFGH. Sua base EFGH tem área 20 cm² e sua altura é a distância de S ao plano EFGH, que é SE = SA + AE = x + 2. Logo seu volume é (1/3) x 20 x (x + 2) = 20(x + 2)/3. Passo 5: Monte a equação do enunciado. O volume do sólido é 40 + 20x/3. Ele deve ser igual a 4/3 do volume de SEFGH, ou seja, 40 + 20x/3 = (4/3) x 20(x + 2)/3 = 80(x + 2)/9. Passo 6: Resolva. Multiplicando por 9, obtemos 360 + 60x = 80x + 160, então 200 = 20x e x = 10. Passo 7: Conclusão. SA = 10 cm, alternativa E. Verificação: o sólido tem volume 40 + 200/3 = 320/3, e 4/3 do volume de SEFGH, que é 4/3 x 240/3 = 320/3, confere.
💡 Dica: Use as fórmulas de volume da pirâmide e do paralelepípedo e relacione os volumes dados.
Alternativa por alternativa
O aluno usa SA como se fosse a altura de SEFGH, ignorando que a altura dessa pirâmide é SE = SA + AE, e substitui valores sem montar corretamente a equação.
O aluno esquece a distância AE ao calcular a altura de SEFGH e trata a altura como SA, o que desequilibra a igualdade entre os volumes.
O aluno calcula corretamente as frações, mas erra no desenvolvimento algébrico ao multiplicar a equação por 9 ou ao isolar x, chegando a um valor incorreto.
O aluno supõe que S está entre A e E, de modo que a altura de SEFGH seria SE = SA - 2, o que inverte a posição do ponto S em relação ao paralelepípedo.
Por que engana: O aluno pode confundir as fórmulas de volume da pirâmide e do paralelepípedo, aplicando a fórmula errada para calcular o volume total.
Incorreta. Não satisfaz a condição de volume.
Raio-X da questão
volume de pirâmide e paralelepípedo
avaliacao
volume de pirâmide · volume de paralelepípedo
Revisar cálculo de volumes de sólidos geométricos e relações entre eles.
O aluno pode confundir as fórmulas de volume da pirâmide e do paralelepípedo, aplicando a fórmula errada para calcular o volume total.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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