No triângulo retângulo ABC o ângulo reto está em C. M é o ponto médio da hipotenusa AB e satisfaz CM = 5v2 m…

Questão

No triângulo retângulo ABC o ângulo reto está em C. M é o ponto médio da hipotenusa AB e satisfaz CM = 5v2 m. Sabe-se que AC:BC = 3:4. Determine os comprimentos AC e BC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Em triângulo retângulo, o ponto médio M da hipotenusa é equidistante dos vértices; CM = (1/2)·AB. Logo AB = 2·CM = 10v2 m. Seja AC = 3k e BC = 4k. Pelo teorema de Pitágoras: (3k)²+(4k)² = AB² ? 9k²+16k² = 25k² = (10v2)² = 200. Então k² = 8 e k = 2v2. Assim AC = 3k = 6v2 m e BC = 4k = 8v2 m.

Explicação

O ponto médio da hipotenusa em um triângulo retângulo é sempre igual à metade do comprimento da hipotenusa, permitindo calcular AB a partir de CM. Ao expressar os catetos em função de uma variável k e aplicar o teorema de Pitágoras, é possível estabelecer uma relação que leva à determinação dos comprimentos de AC e BC. A relação de proporção entre os catetos e a hipotenusa garante que os valores encontrados sejam consistentes com as condições do problema.

Raio-X da questão

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