Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(f(x))…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a [FUVEST 2011 - Questão 21] FUVEST - 2011
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 7
- E) 8
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule f(g(x)). Como f(y) = 2y - 9, temos f(g(x)) = 2(x^2 + 5x + 3) - 9 = 2x^2 + 10x - 3. Passo 2: Calcule g(f(x)). Como g(y) = y^2 + 5y + 3, com y = 2x - 9, temos (2x - 9)^2 + 5(2x - 9) + 3 = 4x^2 - 36x + 81 + 10x - 45 + 3 = 4x^2 - 26x + 39. Passo 3: Iguale as duas expressões: 2x^2 + 10x - 3 = 4x^2 - 26x + 39, que dá 0 = 2x^2 - 36x + 42, ou seja, x^2 - 18x + 21 = 0. Passo 4: Calcule as raízes. O discriminante é 18^2 - 4(21) = 324 - 84 = 240 > 0, logo há duas raízes reais distintas, x = 9 + raiz de 60 e x = 9 - raiz de 60. Como a soma das raízes é 18 e o produto é 21 (positivo), as duas raízes têm o mesmo sinal e são positivas (aproximadamente 16,75 e 1,25). Passo 5: A soma dos valores absolutos é, portanto, igual à soma das raízes, 18. Passo 6: Comparação com o gabarito. Resolvendo por conta própria, encontro 18, valor que não aparece entre as alternativas (4, 5, 6, 7 e 8). O gabarito oficial D (7) não é compatível com o enunciado tal como apresentado. A letra D foi mantida apenas por ser o gabarito oficial; a questão deveria ser verificada e, se confirmado o erro, tratada como anulada. Passo 7: Das alternativas, nenhuma corresponde ao resultado correto 18.
💡 Dica: Substitua as funções e iguale para encontrar as raízes da equação.
Alternativa por alternativa
Provavelmente o aluno calculou errado a expansão de g(f(x)) ou de f(g(x)), obtendo um polinômio com coeficientes diferentes e, consequentemente, uma soma de raízes diferente da correta.
O aluno pode ter errado algum sinal ao passar termos para o mesmo lado da equação, ou ter tomado a soma de um subconjunto das raízes, o que leva a um valor que não corresponde à soma correta dos módulos.
O aluno pode ter aplicado a fórmula da soma das raízes (-b/a) sobre uma equação mal simplificada, ou ter confundido a soma das raízes com a soma de seus módulos sem verificar os sinais.
Por que engana: Confundir a aplicação das funções e não calcular corretamente as raízes da equação resultante.
Incorreta. A soma não é 7.
O aluno pode ter se confundido com o cálculo do discriminante ou com a interpretação do módulo, supondo que há raízes de sinais opostos e somando valores que não correspondem às raízes reais.
Raio-X da questão
funções compostas, equação polinomial
avaliacao
funções compostas · equação polinomial
Revisar funções compostas e resolução de equações polinomiais.
Confundir a aplicação das funções e não calcular corretamente as raízes da equação resultante.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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