O ângulo ? formado por dois planos a e ß é tal que tg? = v5/5 . O ponto P pertence a a e a distância de P a ß…

Questão

O ângulo ? formado por dois planos a e ß é tal que tg? = v5/5 . O ponto P pertence a a e a distância de P a ß vale 1. Então, a distância de P à reta interseção de a e ß é igual a [FUVEST 2009 - Questão 79] FUVEST - 2009

1. A) v3
2. B) v5
3. C) v6
4. D) v7
5. E) v8

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Seja r a reta interseção de α e β, e seja R o pé da perpendicular de P sobre r, de modo que PR é a distância pedida, d. Considere o plano perpendicular a r que passa por P e R. Nele, o ângulo θ entre os semiplanos de α e β, cuja aresta é r, é o ângulo formado entre as retas RP e a traço de β.
2. Seja Q o pé da perpendicular de P sobre β, de modo que PQ = 1. No triângulo retângulo PQR, o ângulo em R é θ, e o cateto oposto a θ é PQ, enquanto a hipotenusa é PR. Logo sen θ = PQ/PR, ou seja, d = 1/sen θ.
3. Foi dado tg θ = raiz de 5 / 5 = 1/raiz de 5. Montando um triângulo retângulo com catetos 1 e raiz de 5, a hipotenusa vale raiz de 6. Assim, sen θ = 1/raiz de 6.
4. Substituindo, d = 1/(1/raiz de 6) = raiz de 6. Portanto a resposta é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas: a A (raiz de 3) não corresponde a nenhuma relação correta entre 1 e tg θ; a B (raiz de 5) corresponderia a 1/tg θ, e não a 1/sen θ; a D (raiz de 7) é resultado de erro aritmético na hipotenusa; a E (raiz de 8) não corresponde ao seno do ângulo dado.

💡 Dica: Use a relação entre o ângulo entre planos e as distâncias para calcular a distância pedida.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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