A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n) x² – 5nx + (m – 2) = 0 valem…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n) x² – 5nx + (m – 2) = 0 valem, respectivamente, 5/8 e 3/32 . Então m + n é igual a [FUVEST 2007 - Questão 34] FUVEST - 2007
- A) 9
- B) 8
- C) 7
- D) 6
- E) 5
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Na equação ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é -b/a e o produto é c/a. Aqui a = 4m + 3n, b = -5n e c = m - 2.
- Soma igual a 5/8. Então 5n/(4m + 3n) = 5/8, o que dá 8n = 4m + 3n, ou seja, 5n = 4m, logo n = 4m/5.
- Produto igual a 3/32. Então (m - 2)/(4m + 3n) = 3/32.
- Substituindo n = 4m/5, temos 4m + 3n = 4m + 12m/5 = 32m/5. Assim (m - 2)/(32m/5) = 3/32, que equivale a 5(m - 2)/(32m) = 3/32, ou 5(m - 2) = 3m. Daí 5m - 10 = 3m, logo m = 5.
- Com m = 5, n = 4m/5 = 4. Logo m + n = 9.
- Verificação: 4m + 3n = 20 + 12 = 32, diferente de zero, então a equação é do segundo grau. A equação fica 32x² - 20x + 3 = 0, com soma 20/32 = 5/8 e produto 3/32, como exigido pelo enunciado.
- Conclusão: a alternativa correta é a A (9), coincidindo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (8) não corresponde ao par m = 5 e n = 4; C (7) não resulta da solução do sistema; D (6) não é a soma dos valores obtidos; E (5) corresponde apenas ao valor de m, e não à soma m + n pedida.
💡 Dica: Use as fórmulas da soma e produto das raízes para montar um sistema e resolver para m e n.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Valor calculado incorretamente.
O aluno provavelmente resolveu corretamente a relação entre m e n, mas errou no cálculo do valor de m ou de n, chegando a um par cuja soma é 8.
Por que engana: Confundir a relação entre soma e produto das raízes, aplicando incorretamente os valores dados na equação.
O aluno pode ter errado ao montar o sistema, por exemplo trocando o sinal de -5n ou simplificando mal 5n/(4m + 3n) = 5/8, e assim chegou a uma relação incorreta entre m e n.
O aluno pode ter errado o sinal ou o coeficiente ao substituir n = 4m/5 no denominador, ou ter feito uma conta de descuido ao somar m e n.
O aluno encontrou corretamente m = 5, mas parou aí e tomou o valor de m como resposta, sem calcular n e a soma m + n pedida no enunciado.
Raio-X da questão
equação do 2º grau, soma e produto das raízes
avaliacao
soma e produto das raízes · equação do 2º grau
Revisar as relações entre coeficientes e raízes em equações quadráticas.
Confundir a relação entre soma e produto das raízes, aplicando incorretamente os valores dados na equação.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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