Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem…

Questão

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? [FUVEST 2006 - Questão 32] FUVEST - 2006

1. A) 16
2. B) 17
3. C) 18
4. D) 19
5. E) 20

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Defina h como o número de homens e m como o número de mulheres. Como 37 pessoas almoçaram juntas, h + m = 37.
2. Conte os apertos de mão. Cada par de homens troca dois apertos (um ao cumprimentar e outro ao se despedir). Cada par homem-mulher troca apenas um aperto (no cumprimento, pois na despedida há aceno). Cada par de mulheres não troca nenhum aperto, só acenos.
3. Monte a equação. O número de pares de homens é C(h,2) = h(h-1)/2, então os apertos entre homens são 2 · h(h-1)/2 = h(h-1). Os apertos entre homem e mulher são h · m. Total: h(h-1) + hm = h(h - 1 + m).
4. Substitua h + m = 37, ou seja, h - 1 + m = 36. Então o total de apertos é 36h.
5. Use o dado de 720 apertos: 36h = 720, logo h = 20 homens.
6. Calcule as mulheres: m = 37 - 20 = 17. Logo, havia 17 mulheres, o que confirma a alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
7. Verificação: 2 · C(20,2) = 2 · 190 = 380 apertos entre homens, e 20 · 17 = 340 apertos entre homem e mulher. A soma é 380 + 340 = 720, como o enunciado exige.
8. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (16) não satisfaz a equação, pois com 21 homens o total seria 756; a alternativa C (18) daria 19 homens e 36 · 19 = 684 apertos; a alternativa D (19) daria 18 homens e 36 · 18 = 648 apertos; a alternativa E (20) é o número de homens, não de mulheres.

💡 Dica: Use sistema de equações para relacionar homens, mulheres e apertos de mão.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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