Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? [FUVEST 2007 - Questão 38] FUVEST - 2007
- A) 71
- B) 75
- C) 80
- D) 83
- E) 87
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. Andréia não pode estar na comissão junto com Manoel nem com Alberto. Manoel e Alberto se dão bem, então podem aparecer juntos.
- Conte as comissões sem Andréia. Sobram 8 alunos e a comissão tem 5 membros, então são C(8,5) = 56 comissões. Nenhuma delas tem conflito.
- Conte as comissões com Andréia. Ela ocupa uma vaga e precisa ser escolhida 4 pessoas entre os alunos que não são Manoel nem Alberto. Restam 9 - 1 - 2 = 6 alunos, logo são C(6,4) = 15 comissões.
- Some os dois casos. 56 + 15 = 71. A alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa B (75) superestima o total, como se alguma comissão proibida tivesse sido contada. A alternativa C (80) e a D (83) resultam de contagens com ao menos um subconjunto proibido incluído indevidamente. A alternativa E (87) é alta demais e não corresponde a nenhum dos casos válidos.
- Verificação alternativa. O total de comissões de 5 em 9 alunos é 126. As proibidas são as que contêm Andréia com Manoel ou com Alberto: 70 - 15 = 55. Então 126 - 55 = 71, confirmando o resultado.
💡 Dica: Considere as restrições de relacionamento para formar comissões válidas.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Número de comissões não é 71.
O aluno provavelmente exclui apenas parte das comissões com Andréia, esquecendo que ela também não pode estar com Alberto, ou subtrai um número menor de comissões proibidas.
Por que engana: O aluno pode confundir a quantidade total de alunos com a quantidade de alunos que podem ser escolhidos, desconsiderando as restrições de amizade.
O aluno tenta contar as comissões válidas por partes, mas soma ou subtrai um subconjunto de forma incorreta, por exemplo ao tratar a exclusão de Manoel e de Alberto como se fosse uma única restrição.
O aluno pode ter contado as comissões com Andréia permitindo Manoel ou Alberto, ou ter aplicado a restrição apenas a um dos dois colegas.
O aluno ignora a restrição de Andréia e conta quase todas as comissões possíveis, ou considera que Manoel e Alberto também não podem estar juntos.
Raio-X da questão
combinatória, relações de amizade
avaliacao
combinatória · relações de amizade
Revisar combinações e análise de restrições em conjuntos.
O aluno pode confundir a quantidade total de alunos com a quantidade de alunos que podem ser escolhidos, desconsiderando as restrições de amizade.
cidadania_etica
tomada_decisao
abstrato
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