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Para a realização de uma atividade, um professor pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT310

Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Para a realização de uma atividade, um professor pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou que, se dividir a turma em grupos de 3 alunos, exatamente um aluno ficará de fora da atividade; se dividir em grupos de 4 alunos, exatamente um aluno também ficará de fora. Considere que nessa turma há N alunos, dos quais 17 são homens, e que o número de mulheres é maior que o número de homens. Nessas condições, o menor valor de N é um número (FATEC 2017)

A) primo e não par.
B) par e não divisível por 4.
C) ímpar e divisível por 5.
D) quadrado perfeito.
E) cubo perfeito.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Sobra exatamente 1 aluno ao dividir em grupos de 3 e também ao dividir em grupos de 4. Logo N - 1 é múltiplo de 3 e de 4, ou seja, N - 1 é múltiplo de mmc(3, 4) = 12. Assim N = 12k + 1: 1, 13, 25, 37, 49, ...
A turma tem 17 homens e mais mulheres que homens. Então o número de mulheres é pelo menos 18, e N = 17 + mulheres ≥ 35. Logo N > 34.
O primeiro valor de 12k + 1 maior que 34 é 37 (pois 25 < 34 e 37 > 34). Portanto N = 37.
Classificação de 37: é primo (não tem divisores além de 1 e 37) e é ímpar, portanto é primo e não par. Alternativa A correta.
Alternativa B está errada, pois 37 é ímpar. Alternativa C está errada, pois 37 não é divisível por 5. Alternativa D está errada, pois 36 = 6² e 49 = 7² são os quadrados vizinhos. Alternativa E está errada, pois 27 = 3³ e 64 = 4³ são os cubos vizinhos.

💡 Dica: Escreva N - 1 múltiplo de 3 e de 4, use N > 34 e teste as alternativas com N = 37.

Alternativa por alternativa

A Correta

CORRETA. N deve deixar resto 1 na divisão por 3 e por 4, logo N - 1 é múltiplo de 12 e N = 13, 25, 37, ... Como há 17 homens e mais mulheres que homens, N > 34, o menor valor é N = 37. 37 é primo e ímpar, portanto é primo e não par.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno pode ter achado N par por não ter aplicado a condição N ≡ 1 (mod 12) e ter testado um valor como 36 ou 48.

C Erradaerro: Procedimental

Confusão ao aplicar a condição de divisibilidade, tomando N como múltiplo de 5 sem relacionar com os restos por 3 e 4.

D Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

Ao ignorar a condição de que o número de mulheres supera o de homens, o aluno toma N = 25, que é quadrado perfeito e satisfaz a congruência, mas é menor que 35.

Por que engana: Tomar N = 25 por ignorar a condição de que há mais mulheres que homens, ou não somar 1 ao MMC.

E Erradaerro: Atenção

Aluno que apenas verifica números próximos sem seguir a sequência 12k + 1 pode associar 27 ou 64 a N, sem checar as condições.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 desafio

🎯 Conceito central

Congruência e múltiplo comum (MMC) aplicados a restos de divisão

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Divisão com resto · Mínimo múltiplo comum

📚 Reveja

Múltiplos e MMC; classificação de números em primo, par, quadrado e cubo perfeito

⚠️ Erro mais comum

Tomar N = 25 por ignorar a condição de que há mais mulheres que homens, ou não somar 1 ao MMC.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cotidiano

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