MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ longo

João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? [FUVEST 2006 - Questão 24] FUVEST - 2006

A) R$ 20.000,00
B) R$ 22.000,00
C) R$ 24.000,00
D) R$ 26.000,00
E) R$ 28.000,00

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Chame de j, m e a os capitais iniciais de João, Maria e Antônia. Como juntos tinham R$ 100.000,00, temos j + m + a = 100000.
Ao fim do primeiro ano, com juros de 10%, os capitais viram 1,1j (João), 1,1m (Maria) e 1,1a (Antônia). A condição dada é 1,1a = 11000 + 2(1,1j), ou seja, 1,1a = 11000 + 2,2j.
No segundo ano, todos reinvestem com juros de 10%, então os capitais finais são 1,21j, 1,21m e 1,21a. A condição é 1,21a = 1,21m + 1,21j, o que simplifica para a = m + j.
Substituindo a = m + j em j + m + a = 100000, obtemos 2a = 100000, logo a = 50000. Assim, m + j = 50000.
Voltando à equação do primeiro ano: 1,1 x 50000 = 11000 + 2,2j, ou seja, 55000 = 11000 + 2,2j. Então 2,2j = 44000 e j = 20000.
Verificação: j = 20000 e m = 30000, a = 50000. No primeiro ano, Antônia tem 55000 e João tem 22000; 11000 + 2 x 22000 = 55000, o que confere. No segundo ano, Antônia tem 60500, Maria 36300 e João 24200; 36300 + 24200 = 60500, o que confere.
Portanto o capital inicial de João era R$ 20.000,00, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. As demais alternativas estão erradas: B (22000) é o capital de João ao fim do primeiro ano, não o inicial; C (24000), D (26000) e E (28000) não satisfazem simultaneamente as duas condições do enunciado.

💡 Dica: Monte equações para os capitais após cada ano e use as condições dadas para encontrar o capital inicial de João.

Alternativa por alternativa

A Correta

Incorreta. Calcula incorretamente o capital inicial.

B Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

O aluno resolve corretamente o sistema, mas para no valor de João após o primeiro ano (22000), tomando o montante pelo capital inicial que a pergunta pede.

Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os capitais após o primeiro ano, não considerando corretamente a diferença entre os juros e o capital inicial de cada um.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno chega a um valor que não satisfaz as duas condições, provavelmente por erro no cálculo da condição do primeiro ano, como aplicar mal os 10% ou o fator 2 sobre o capital de João.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno monta corretamente a primeira condição, mas erra a relação do segundo ano ou a soma inicial, assumindo uma distribuição de capitais que não respeita o total de R$ 100.000,00.

E Erradaerro: Senso comum

O aluno tenta resolver por tentativa ou por intuição sobre a divisão do total entre os três, sem usar a condição de que o capital de Antônia é igual à soma dos de Maria e João no segundo ano.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

juros simples, sistema de equações

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

sistema de equações · juros simples

📚 Reveja

Revisar cálculo de juros simples e resolução de sistemas de equações lineares.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a relação entre os capitais após o primeiro ano, não considerando corretamente a diferença entre os juros e o capital inicial de cada um.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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