Em uma simulação astronômica, dois planetas, P1 e P2, orbitam a mesma estrela em trajetórias aproximadamente…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma simulação astronômica, dois planetas, P1 e P2, orbitam a mesma estrela em trajetórias aproximadamente circulares. Como a massa da estrela é muito maior que a dos planetas, pode-se aplicar a terceira lei de Kepler: para corpos que orbitam a mesma estrela, a razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do semieixo maior é constante. Os dados da simulação são: para P1, semieixo maior a1 = 1,0 × 10^11 m e período T1 = 1,0 × 10^7 s; para P2, semieixo maior a2 = 2,0 × 10^11 m. Com base nos dados da simulação e na terceira lei de Kepler, qual é aproximadamente o período orbital T2 do planeta P2?
- A) T2 = T1 · (a2/a1)^3 = 8,0 × 10^7 s.
- B) T2 = T1 · (a1/a2) = 5,0 × 10^6 s.
- C) T2 = T1 · (a2/a1)^(3/2) = 2,83 × 10^7 s.
- D) T2 = T1 · (a2/a1) = 2,0 × 10^7 s.
- E) T2 = T1 · (a1/a2)^(3/2) = 3,54 × 10^6 s.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pela terceira lei de Kepler, T^2 / a^3 é constante para corpos que orbitam a mesma estrela. Logo, T2^2 / T1^2 = a2^3 / a1^3, o que resulta em T2 = T1 x (a2/a1)^(3/2). Passo 2: Calcule a razão dos semieixos: a2/a1 = 2,0 x 10^11 / 1,0 x 10^11 = 2. Passo 3: Calcule 2^(3/2) = 2 x raiz de 2 = 2 x 1,414 = 2,83, aproximadamente. Passo 4: T2 = 1,0 x 10^7 x 2,83 = 2,83 x 10^7 s. Portanto, a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A usa o expoente 3 diretamente sobre a razão, quando a lei relaciona o quadrado do período com o cubo do semieixo, então o expoente correto é 3/2. B inverte a razão dos semieixos e usa proporção direta, ignorando que o período cresce quando o semieixo cresce. D supõe proporção direta entre período e semieixo, desconsiderando a relação com potências da lei de Kepler. E inverte a razão dos semieixos, o que daria período menor para a órbita maior, contrariando a lei.
💡 Dica: Utilize a terceira lei de Kepler para relacionar os períodos e semieixos.
Alternativa por alternativa
Aplica o expoente 3 diretamente à razão dos semieixos, como se T fosse proporcional a a^3, esquecendo que a lei relaciona T^2 com a^3.
Acredita que o período diminui quando o semieixo aumenta e que a relação é linear, invertendo a razão a1/a2.
Por que engana: Confundir a relação entre os semieixos e os períodos, aplicando a fórmula de forma incorreta.
Para planetas que orbitam a mesma estrela, T^2/a^3 é constante. Assim, T2^2/T1^2 = (a2/a1)^3, portanto T2 = T1 · (a2/a1)^(3/2). Como a2/a1 = 2, T2 = 1,0 × 10^7 · 2^(3/2) ≈ 2,83 × 10^7 s.
Supõe que o período dobra porque a órbita dobrou, usando uma proporção direta e intuitiva, sem considerar a lei de Kepler.
Inverte a razão dos semieixos (a1/a2) e, por isso, obtém um período menor para a órbita maior, o que contraria a lei.
Raio-X da questão
terceira lei de Kepler
avaliacao
terceira lei de Kepler · proporcionalidade entre períodos
Revisar a terceira lei de Kepler e suas aplicações.
Confundir a relação entre os semieixos e os períodos, aplicando a fórmula de forma incorreta.
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