Dois satélites orbitam a mesma massa central. O satélite A tem raio orbital r1 = 7,0×10^6 m e período T1 =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dois satélites orbitam a mesma massa central. O satélite A tem raio orbital r1 = 7,0×10^6 m e período T1 = 6000 s. Determine o período T2 de um satélite B com r2 = 1,2×10^7 m, usando a terceira lei de Kepler.
- A) T2 = 4000 s, pois o período é inversamente proporcional ao raio.
- B) T2 = 5000 s, considerando a massa do satélite como fator principal.
- C) T2 = 8000 s, já que a diferença de tamanhos dos raios é mínima.
- D) T2 ˜ 1,35×10^4 s (˜13 500 s)
- E) T2 = 12000 s, pois o período é sempre proporcional ao raio orbital.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A terceira lei de Kepler relaciona o período T com o raio orbital r por T^2 proporcional a r^3. Como a massa central é a mesma para os dois satélites, a constante é a mesma, logo T2/T1 = (r2/r1)^(3/2). Passo 2: Calcule a razão dos raios: r2/r1 = 1,2×10^7 / 7,0×10^6 = 12/7, aproximadamente 1,714. Passo 3: Eleve ao cubo para obter a razão de r^3: (12/7)^3 = 1728/343, aproximadamente 5,04. Passo 4: Tire a raiz quadrada: raiz de 5,04 é aproximadamente 2,245. Passo 5: Multiplique pelo período do satélite A: T2 = 6000 × 2,245, aproximadamente 13 470 s, ou seja, cerca de 1,35×10^4 s. Passo 6: Essa é a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A supõe proporcionalidade inversa com o raio, o que não é o que a lei de Kepler diz; B atribui o resultado à massa do satélite, que não aparece na terceira lei; C afirma que a diferença dos raios é mínima, mas o raio de B é quase 1,7 vez o de A; E supõe proporcionalidade direta com o raio, quando a relação correta envolve r elevado a 3/2.
💡 Dica: Aplique a terceira lei de Kepler para relacionar os períodos e raios orbitais.
Alternativa por alternativa
Acredita que o período diminui quando o raio aumenta, como se T fosse inversamente proporcional a r. Esquece que, pela terceira lei, órbitas maiores têm períodos maiores.
Por que engana: Confundir a relação entre período e raio, acreditando que o período é inversamente proporcional ao raio orbital.
Supõe que a massa do satélite altera o período, quando na terceira lei só importam o raio orbital e a massa do corpo central. Ignora a relação com r^3.
Imagina que raios parecidos produzem períodos parecidos, pela intuição do dia a dia. Não percebe que r2 é cerca de 1,7 vez r1 e que a relação é elevada a 3/2.
Para mesma massa central T2 = T1 (r2/r1)^(3/2). Substituindo: T2 = 6000·(1,2×10^7/7,0×10^6)^(3/2) ˜ 6000·2,246 ˜ 1,35×10^4 s.
Acha que o período cresce na mesma proporção que o raio, tratando a relação como linear. Não aplica o expoente da terceira lei, em que T^2 é proporcional a r^3.
Raio-X da questão
terceira lei de Kepler
avaliacao
terceira lei de Kepler · proporcionalidade entre períodos e raios
Revisar a terceira lei de Kepler e suas aplicações em órbitas.
Confundir a relação entre período e raio, acreditando que o período é inversamente proporcional ao raio orbital.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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