Em um projeto brasileiro de monitoramento ambiental, um satélite é colocado em órbita circular para acompanhar…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto brasileiro de monitoramento ambiental, um satélite é colocado em órbita circular para acompanhar áreas de desmatamento. A altitude da órbita é de 500 km acima da superfície de um planeta. Para os cálculos, considere o planeta esférico, despreze a resistência do ar e use os seguintes dados: massa do planeta M = 4,00 × 10^24 kg, raio R = 6,00 × 10^6 m e constante gravitacional G = 6,67 × 10^-11 N·m²/kg². Em uma órbita circular, o período pode ser calculado por T = 2pv(r³/(GM)), em que r é a distância entre o satélite e o centro do planeta. Com base nos dados do texto, qual é aproximadamente o período orbital desse satélite, em segundos?
- A) T = 4,00 × 10^3 s.
- B) T = 12,56 × 10^3 s.
- C) T = 6,38 × 10^3 s.
- D) T = 3,00 × 10^3 s.
- E) T = 5,50 × 10^3 s.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a distância até o centro do planeta. O enunciado dá a altitude (500 km acima da superfície) e o raio (6,00 × 10^6 m). Como 500 km = 5,00 × 10^5 m, temos r = 6,00 × 10^6 + 0,50 × 10^6 = 6,50 × 10^6 m.
- Calcule r^3 = (6,50 × 10^6)^3 = 274,625 × 10^18 = 2,74625 × 10^20 m^3.
- Calcule o produto GM = 6,67 × 10^-11 × 4,00 × 10^24 = 26,68 × 10^13 = 2,668 × 10^14 m^3/s^2.
- Calcule o quociente r^3/(GM) = 2,74625 × 10^20 / 2,668 × 10^14 ≈ 1,0294 × 10^6 s^2.
- Extraia a raiz quadrada: raiz de 1,0294 × 10^6 ≈ 1,0146 × 10^3 s.
- Multiplique por 2π (aproximadamente 6,283): T ≈ 6,283 × 1,0146 × 10^3 ≈ 6,37 × 10^3 s, que é arredondado para 6,38 × 10^3 s na alternativa C. Esse é o valor correto, pois a altitude precisa ser somada ao raio para obter r.
- Por que as outras estão erradas: A (4,00 × 10^3 s) é muito pequena para uma órbita a 500 km de altitude; B (12,56 × 10^3 s) é quase o dobro do valor correto, resultado de erro na potência de 10 ou na raiz; D (3,00 × 10^3 s) não corresponde ao cálculo com 2π; E (5,50 × 10^3 s) não corresponde ao resultado correto.
- Conclusão: o gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Calcule r e substitua na fórmula do período orbital.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente não converte corretamente a altitude ou usa um valor de r que não corresponde à distância ao centro do planeta, obtendo um período subestimado.
O aluno provavelmente erra a potência de 10 ao extrair a raiz quadrada ou ao lidar com o expoente de r^3 e de GM, o que leva a um resultado cerca de duas vezes maior.
Por que engana: Confundir a fórmula do período orbital com a de outras situações, como a de um corpo em queda livre, levando a um cálculo incorreto do tempo.
A distância do satélite ao centro do planeta é r = R + h. Convertendo a altitude para metros, h = 5,00 × 10^5 m, então r = 6,00 × 10^6 + 5,00 × 10^5 = 6,50 × 10^6 m. Aplicando a expressão fornecida, T = 2π√[(6,50 × 10^6)³/(6,67 × 10^-11 · 4,00 × 10^24)] ≈ 6,38 × 10^3 s.
O aluno provavelmente usa π no lugar de 2π na fórmula do período, ou faz um arredondamento grosseiro do fator, obtendo um valor próximo de 3,0 × 10^3 s.
O aluno provavelmente esquece de somar a altitude ao raio e usa r = R = 6,00 × 10^6 m, o que daria cerca de 5,65 × 10^3 s, valor próximo de E; ou comete erro de cálculo intermediário.
Raio-X da questão
período orbital
avaliacao
período orbital · lei da gravitação universal
Revisar a fórmula do período orbital e a lei da gravitação universal.
Confundir a fórmula do período orbital com a de outras situações, como a de um corpo em queda livre, levando a um cálculo incorreto do tempo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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