Em um levantamento de estrelas da vizinhança solar, os pesquisadores estimam a luminosidade e a temperatura…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um levantamento de estrelas da vizinhança solar, os pesquisadores estimam a luminosidade e a temperatura efetiva de cada objeto. Para uma estrela que emite como um corpo negro, a luminosidade pode ser aproximada por L = 4pR²sT4, em que R é o raio estelar, T é a temperatura efetiva e s = 5,67 × 10?8 W·m?²·K?4. Considere p = 3,14, L? = 3,8 × 10²6 W e R? = 6,96 × 108 m. Neste levantamento, estrelas com raio próximo de R? são consideradas análogas ao Sol; aquelas com raios de dezenas de R? são classificadas como gigantes; e aquelas com raio inferior a R? são classificadas como anãs. Uma das estrelas observadas apresenta luminosidade L = 100L? e temperatura efetiva T = 4 000 K. Com base no texto e na relação da radiação de corpo negro, determine o raio aproximado da estrela e sua classificação evolutiva mais provável.
- A) R ≈ 7,2 × 10⁹ m (≈ 10R☉); classifica-se como gigante.
- B) R ≈ 5,1 × 10¹⁰ m (≈ 73R☉); classifica-se como gigante.
- C) R ≈ 1,4 × 10⁸ m (≈ 0,2R☉); classifica-se como anã.
- D) R ≈ 1,4 × 10¹⁰ m (≈ 20R☉); classifica-se como gigante.
- E) R ≈ 1,4 × 10¹² m (≈ 2 000R☉); classifica-se como gigante.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a luminosidade: L = 100 × 3,8 × 10^26 W = 3,8 × 10^28 W. Passo 2: Calcule T^4 = (4000)^4 = 2,56 × 10^14 K^4. Passo 3: Calcule s × T^4 = 5,67 × 10^-8 × 2,56 × 10^14 ≈ 1,45 × 10^7 W/m². Passo 4: Calcule 4 × p × s × T^4 = 12,56 × 1,45 × 10^7 ≈ 1,82 × 10^8 W/m². Passo 5: Isole R^2 na relação L = 4pR^2sT^4, obtendo R^2 = L / (4psT^4) = 3,8 × 10^28 / 1,82 × 10^8 ≈ 2,08 × 10^20 m². Passo 6: Extraia a raiz quadrada: R = raiz de 2,08 × 10^20 ≈ 1,44 × 10^10 m. Passo 7: Compare com o raio solar: 1,44 × 10^10 / 6,96 × 10^8 ≈ 20,7, ou seja, cerca de 20 R☉. Como o texto classifica como gigantes as estrelas com raios de dezenas de R☉, a estrela é uma gigante. Passo 8: A alternativa A está errada porque 7,2 × 10^9 m corresponde a cerca de 10 R☉ e o cálculo correto dá cerca de 20 R☉. A alternativa B está errada porque 5,1 × 10^10 m é cerca de 73 R☉, valor que resulta de um erro de magnitude no cálculo do raio. A alternativa C está errada porque uma estrela de 4000 K com 100 L☉ não pode ter raio inferior ao solar, já que a luminosidade cresce com R^2. A alternativa E está errada porque 1,4 × 10^12 m (cerca de 2000 R☉) implicaria um erro de potência de dez na extração da raiz quadrada. Gabarito D confirmado.
💡 Dica: Aplique a fórmula de luminosidade para encontrar o raio.
Alternativa por alternativa
Provavelmente errou a potência de 10 ao extrair a raiz quadrada de 2,08 × 10^20, obtendo ordem de grandeza menor para R.
Provavelmente calculou R^2 com erro de potência ou elevou o resultado ao quadrado em vez de extrair a raiz, chegando a um raio muito maior.
Acreditou que, por ser mais fria que o Sol, a estrela deve ser pequena, ignorando que a luminosidade depende de R^2 e que a luminosidade é 100 vezes a solar.
Substituindo os dados na expressão L = 4πR²σT⁴: R = √[L/(4πσT⁴)]. Como L = 100 × 3,8 × 10²⁶ = 3,8 × 10²⁸ W e T⁴ = (4 000)⁴ = 2,56 × 10¹⁴ K⁴, obtém-se R ≈ 1,4 × 10¹⁰ m. Dividindo esse valor por R☉ = 6,96 × 10⁸ m, resulta R ≈ 20R☉. Um raio de dezenas de raios solares corresponde, segundo o texto, a uma estrela gigante.
Provavelmente trocou a potência de 10 da luminosidade ou da raiz quadrada, deslocando o resultado em duas ordens de grandeza.
Raio-X da questão
raio de estrela
avaliacao
lei de Stefan-Boltzmann · cálculo de áreas
Revisar a relação entre luminosidade, temperatura e raio de estrelas.
Confundir a relação entre luminosidade e raio, aplicando incorretamente a fórmula de Stefan-Boltzmann.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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