Em uma análise de dados de uma estrela semelhante ao Sol, um grupo de estudantes utiliza a lei de…

Questão

Em uma análise de dados de uma estrela semelhante ao Sol, um grupo de estudantes utiliza a lei de Stefan-Boltzmann para relacionar a luminosidade da estrela ao seu raio e à sua temperatura efetiva. A relação é L = 4pr²sT4, em que L é a luminosidade, r é o raio, T é a temperatura absoluta em kelvins e s = 5,67 × 10?8 W·m?²·K?4. Para a estrela analisada, foram medidos L = 3,0 × 10²6 W e T = 5,8 × 10³ K. Considere p = 3,14. Com base nos dados apresentados, qual é o raio aproximado da estrela, em metros?

1. A) r = 6,1 × 10⁸ m
2. B) r = 1,9 × 10⁸ m
3. C) r = 2,2 × 10⁹ m
4. D) r = 3,8 × 10¹⁷ m
5. E) r = 1,2 × 10⁹ m

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Isolar r na lei de Stefan-Boltzmann. De L = 4pi r^2 s T^4, obtemos r^2 = L / (4 pi s T^4) e, portanto, r = raiz quadrada de [L / (4 pi s T^4)].
2. Calcular T^4. Com T = 5,8 × 10^3 K, temos T^2 = 3,364 × 10^7 e T^4 = (3,364 × 10^7)^2 = 1,1316 × 10^15 K^4.
3. Calcular o denominador. Usando pi = 3,14, temos 4 × 3,14 = 12,56. Então s × T^4 = 5,67 × 10^-8 × 1,1316 × 10^15 = 6,416 × 10^7 W/m^2, e 12,56 × 6,416 × 10^7 = 8,059 × 10^8.
4. Calcular r^2. r^2 = 3,0 × 10^26 / 8,059 × 10^8 = 3,72 × 10^17 m^2.
5. Extrair a raiz quadrada. r = raiz quadrada de 3,72 × 10^17 = raiz quadrada de 37,2 × 10^16 = 6,1 × 10^8 m. Esse resultado corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas. B (1,9 × 10^8 m) seria obtido dividindo o resultado por pi a mais, o que não faz parte da fórmula. C (2,2 × 10^9 m) não corresponde a nenhum erro de fórmula simples e indica um equívoco no cálculo de potências ou raízes. D (3,8 × 10^17 m) é o valor de r^2, então a raiz quadrada não foi extraída. E (1,2 × 10^9 m) é o dobro do valor correto, o que ocorre ao esquecer o fator 4 de 4pi r^2 e usar pi r^2 no lugar.

💡 Dica: Substitua os valores na fórmula e resolva para r.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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