Em uma pesquisa com 240 pessoas, as alturas foram agrupadas e estratificadas por sexo conforme: 150–159: 30 H…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa com 240 pessoas, as alturas foram agrupadas e estratificadas por sexo conforme: 150–159: 30 H, 20 M; 160–169: 40 H, 50 M; 170–179: 40 H, 30 M; 180–189: 20 H, 10 M. Seja A = altura entre 160–179 e B = ser do sexo feminino. Os eventos A e B são independentes?
- A) A probabilidade P(A) é 70% e P(B) é 50%.
- B) Não; são dependentes.
- C) Os eventos A e B são independentes; P(A) = P(B).
- D) A probabilidade de A e B é igual à soma das suas frequências totais.
- E) Eventos A e B são independentes porque têm as mesmas frequências.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Some as frequências. O total é 30+20+40+50+40+30+20+10 = 240 pessoas. Para o evento A (altura entre 160 e 179), somam-se as faixas 160–169 e 170–179: 40+50+40+30 = 160 pessoas. Logo P(A) = 160/240 = 2/3, cerca de 66,7%.
- Para o evento B (sexo feminino), somam-se as colunas M: 20+50+30+10 = 110 pessoas. Logo P(B) = 110/240 = 11/24, cerca de 45,8%.
- Para a interseção A e B (mulheres com altura entre 160 e 179), somam-se 50+30 = 80 pessoas. Logo P(A e B) = 80/240 = 1/3, cerca de 33,3%.
- Teste de independência: os eventos são independentes se P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = (2/3) x (11/24) = 22/72 = 11/36, cerca de 0,306, que é diferente de 1/3, cerca de 0,333. Outra checagem: P(A|B) = 80/110 = 8/11, cerca de 72,7%, diferente de P(A) = 66,7%. Portanto, os eventos são dependentes.
- A alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque os valores 70% e 50% não correspondem aos cálculos (66,7% e 45,8%). A alternativa C está errada porque probabilidades iguais não garantem independência, e aqui P(A) é diferente de P(B). A alternativa D está errada porque a probabilidade da interseção não é a soma das frequências. A alternativa E está errada porque mesmas frequências não implicam independência; o que importa é a relação entre a probabilidade conjunta e o produto das probabilidades.
💡 Dica: Calcule as probabilidades de A e B e verifique a independência.
Alternativa por alternativa
O aluno aproximou ou arredondou mal as contagens e chegou a 70% para P(A) e 50% para P(B), sem conferir a soma das faixas e das colunas.
P(A)=160/240=0,6667; P(B)=110/240=0,4583; P(AnB)=80/240=0,3333. Como P(AnB)?P(A)P(B) (0,3333?0,3056), são dependentes.
O aluno acredita que, por as probabilidades serem iguais, os eventos são independentes, confundindo igualdade de probabilidades com independência, e ainda afirma P(A) = P(B) sem verificar.
Por que engana: O aluno pode confundir a independência de eventos com a soma de suas probabilidades, acreditando que eventos com frequências iguais são sempre independentes.
O aluno acha que a probabilidade da interseção se obtém somando as frequências totais, confundindo a interseção com a regra da adição ou com soma simples de contagens.
O aluno supõe que eventos com as mesmas frequências são independentes, usando a intuição de que coisas parecidas não se influenciam, em vez do critério P(A e B) = P(A) x P(B).
Raio-X da questão
probabilidade de eventos independentes
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar conceitos de probabilidade e eventos independentes.
O aluno pode confundir a independência de eventos com a soma de suas probabilidades, acreditando que eventos com frequências iguais são sempre independentes.
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pensamento_critico
cientifico
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