Pesquisa com 100 alunos: 60 são meninos e 40 meninas. Dos 50 alunos que gostam de futebol, 40 são meninos e 10…

Questão

Pesquisa com 100 alunos: 60 são meninos e 40 meninas. Dos 50 alunos que gostam de futebol, 40 são meninos e 10 meninas. Ao escolher um aluno ao acaso, os eventos A = "escolhido gosta de futebol" e B = "escolhido é menino" são independentes? Justifique com números.

1. A) Não é possível determinar se A e B são independentes com os dados apresentados.
2. B) Não; A e B são independentes pois a taxa de meninas é baixa.
3. C) Sim; A e B são independentes, pois a maioria dos meninos gosta de futebol.
4. D) Sim; todos os alunos têm a mesma probabilidade de gostar de futebol.
5. E) Não; são dependentes, pois P(A∩B)=0,40 e P(A)·P(B)=0,50·0,60=0,30.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Calcule as probabilidades individuais. P(A) = 50/100 = 0,5 (50 alunos gostam de futebol em 100). P(B) = 60/100 = 0,6 (60 meninos em 100). Passo 2: Calcule a probabilidade conjunta. P(A e B) = 40/100 = 0,4, pois 40 meninos gostam de futebol. Passo 3: Teste a independência. A e B são independentes somente se P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = 0,5 x 0,6 = 0,3, mas P(A e B) = 0,4. Como os valores são diferentes, os eventos são dependentes. Passo 4: Confira por outro caminho. P(A|B) = 40/60, cerca de 0,67, que é diferente de P(A) = 0,5. Saber que o aluno é menino muda a chance de ele gostar de futebol, o que confirma a dependência. Passo 5: Conclusão. A alternativa E está correta, pois responde Não, são dependentes, e apresenta os números corretos. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A: os dados são suficientes, porque a tabela de contagem fornece P(A), P(B) e P(A e B). B: a independência não depende de a proporção de meninas ser baixa; a conta mostra dependência. C: a maioria dos meninos gostar de futebol (cerca de 67%) é diferente da proporção geral (50%), o que indica dependência, e não independência. D: ter a mesma probabilidade para todos não define independência; o que importa é se P(A|B) = P(A), e isso não ocorre aqui. Passo 7: Conclusão final. O gabarito oficial E está correto.

💡 Dica: Compare P(A∩B) com o produto P(A)·P(B).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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