Lance uma moeda justa duas vezes. Define A = "ocorre cara no primeiro lançamento" e B = "ocorre cara no…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Lance uma moeda justa duas vezes. Define A = "ocorre cara no primeiro lançamento" e B = "ocorre cara no segundo lançamento". Os eventos A e B são independentes? Justifique com cálculo de probabilidades.
- A) Não; P(A∩B)=1/2, enquanto P(A)·P(B)=1/4.
- B) Sim; eventos A e B têm uma probabilidade de 1/3 de ocorrerem juntos.
- C) Sim; eventos A e B são dependentes, pois não podem ocorrer simultaneamente.
- D) Não; A e B são dependentes pois o primeiro lançamento afeta o segundo.
- E) Sim; são independentes, pois P(A∩B)=1/4 = P(A)·P(B).
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Defina o espaço amostral dos dois lançamentos de moeda justa: {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)}, com 4 resultados igualmente prováveis, cada um com probabilidade 1/4 (K significa coroa).
- Calcule P(A). A é cara no primeiro lançamento, ocorrendo em (C,C) e (C,K). Logo P(A) = 2/4 = 1/2.
- Calcule P(B). B é cara no segundo lançamento, ocorrendo em (C,C) e (K,C). Logo P(B) = 2/4 = 1/2.
- Calcule P(A∩B). A interseção ocorre apenas em (C,C), então P(A∩B) = 1/4.
- Verifique a independência. Dois eventos são independentes quando P(A∩B) = P(A)·P(B). Aqui P(A)·P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4, que é igual a P(A∩B) = 1/4. Portanto A e B são independentes, e a alternativa E está correta.
- Por que as outras estão erradas. A: confunde P(A∩B) com P(A) e afirma 1/2, quando a interseção vale 1/4. B: 1/3 não corresponde a nenhum cálculo do espaço amostral, e a conclusão de independência é dada sem justificativa correta. C: confunde independência com eventos mutuamente exclusivos, mas A e B podem ocorrer simultaneamente em (C,C). D: a conclusão de dependência contraria o fato de que o resultado de um lançamento não altera a moeda do lançamento seguinte.
- Conclusão. O gabarito oficial E está correto e coincide com a resolução independente.
💡 Dica: Calcule P(A), P(B) e P(A∩B), depois compare P(A∩B) com P(A)·P(B).
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a interseção como se fosse apenas P(A) e não considera que o segundo lançamento também precisa ser cara. Assim, obtém P(A∩B)=1/2 e conclui erradamente pela dependência.
O aluno atribui à interseção um valor de 1/3 sem base no espaço amostral de quatro resultados, o que indica erro de cálculo ou chute. Mesmo chegando à conclusão correta de independência, a justificativa numérica está errada.
O aluno confunde eventos independentes com eventos mutuamente exclusivos, achando que, se não podem ocorrer juntos, são dependentes. Na verdade, A e B ocorrem juntos no resultado (C,C).
O aluno usa a intuição do dia a dia de que o primeiro resultado influencia o seguinte, ignorando que a moeda não tem memória. Essa ideia de senso comum contraria a definição probabilística de independência.
Por que engana: Confundir independência com impossibilidade de ocorrência simultânea ou supor que o primeiro lançamento altera o resultado do segundo, sem comparar as probabilidades.
Cada lançamento tem probabilidade 1/2 de resultar em cara. A probabilidade de ocorrer cara nos dois lançamentos é 1/4, igual ao produto das probabilidades de A e B; portanto, os eventos são independentes.
Raio-X da questão
Independência de eventos aleatórios
avaliacao
Probabilidade de eventos simples · Espaço amostral de dois lançamentos
Revise a definição de eventos independentes e o cálculo de probabilidades em lançamentos de moeda.
Confundir independência com impossibilidade de ocorrência simultânea ou supor que o primeiro lançamento altera o resultado do segundo, sem comparar as probabilidades.
tomada_decisao
abstrato
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