Num mesmo grupo de 20 alunos (Futebol 8, Vôlei 5, Tênis 3, Natação 4) escolhem-se dois alunos sem reposição…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num mesmo grupo de 20 alunos (Futebol 8, Vôlei 5, Tênis 3, Natação 4) escolhem-se dois alunos sem reposição. Os eventos A = 'primeiro escolhido gosta de futebol' e B = 'segundo escolhido gosta de vôlei' são independentes?
- A) Os eventos A e B são independentes, pois têm o mesmo número de alunos preferindo cada esporte.
- B) Eventos A e B são sempre dependentes em grandes grupos de alunos.
- C) Os eventos A e B são independentes, pois o total de alunos é constante.
- D) O evento A não influencia o evento B, tornando-os independentes.
- E) Dependentes
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o total. Futebol 8 + Vôlei 5 + Tênis 3 + Natação 4 = 20 alunos, que é o tamanho do grupo. Passo 2: Calcule P(A), a probabilidade de o primeiro escolhido gostar de futebol: 8/20 = 2/5. Passo 3: Calcule P(B), a probabilidade de o segundo escolhido gostar de vôlei. Sem informação sobre o primeiro, a probabilidade é a mesma de qualquer posição, pois a ordem das escolhas não altera essa proporção: 5/20 = 1/4. Passo 4: Calcule a probabilidade conjunta P(A e B). Como a escolha é sem reposição, o primeiro escolhido sai do grupo antes da segunda escolha. Então P(A e B) = (8/20) x (5/19) = 40/380 = 2/19, que é aproximadamente 0,105. Passo 5: Teste a independência. Dois eventos são independentes se P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui, P(A) x P(B) = (2/5) x (1/4) = 1/10 = 0,10, que é diferente de 2/19 (aproximadamente 0,105). Logo os eventos são dependentes. Passo 6: Conclusão. Sua resolução confirma o gabarito oficial E. A dependência vem da retirada sem reposição, que muda a composição do grupo para a segunda escolha, e não do tamanho do grupo. Passo 7: Por que as outras estão erradas. A afirma independência por igualdade de números de alunos, o que não é critério de independência. B afirma dependência por causa do tamanho do grupo, o que está errado como justificativa, pois o motivo é a retirada sem reposição. C afirma independência por ser o total constante, mas o total fixo não garante independência quando há retirada sem reposição. D afirma que A não influencia B, mas a primeira escolha altera o conjunto disponível para a segunda.
💡 Dica: Calcule as probabilidades dos eventos A e B para verificar a independência.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que eventos são independentes quando os grupos têm a mesma quantidade de alunos, mas os números são diferentes (8 de futebol e 5 de vôlei). Além disso, confunde a condição de independência com igualdade de contagens.
O aluno acredita que a dependência depende do tamanho do grupo ('grandes grupos'). A dependência vem da retirada sem reposição, que altera as probabilidades da segunda escolha, e não do porte do grupo.
O aluno pensa que, como o total de 20 alunos é constante, as probabilidades não mudam e os eventos são independentes. Ignora que, sem reposição, o total de alunos restantes muda após a primeira escolha (de 20 para 19).
O aluno usa a intuição do dia a dia de que uma escolha não 'influencia' a outra e conclui independência. Esquece que, sem reposição, o primeiro aluno sai do grupo e muda a composição disponível para a segunda escolha.
Por que engana: Confundir a independência dos eventos com a quantidade de alunos que praticam cada esporte, levando a uma conclusão errada sobre a relação entre eles.
P(A)=8/20; P(B)=5/20, mas P(B|A)=5/19. Como P(B|A) ? P(B), os eventos são dependentes.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos independentes
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar o conceito de eventos independentes em probabilidade.
Confundir a independência dos eventos com a quantidade de alunos que praticam cada esporte, levando a uma conclusão errada sobre a relação entre eles.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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