Em uma turma de 30 alunos, 12 preferem futebol. Se dois alunos são escolhidos sem reposição, os eventos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma turma de 30 alunos, 12 preferem futebol. Se dois alunos são escolhidos sem reposição, os eventos 'primeiro prefere futebol' e 'segundo prefere futebol' são independentes? Justifique.
- A) Não, pois a chance cai de 12/30 para 11/29.
- B) Sim, são independentes, pois cada aluno tem preferências diferentes.
- C) Sim, pois cada escolha é feita de forma aleatória, sem qualquer ligação.
- D) Não, mas são quase independentes, pois a turma é muito grande.
- E) Não, porque há mais alunos que preferem futebol do que aqueles que não preferem.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule a probabilidade de o primeiro aluno preferir futebol: 12 em 30, ou seja, 12/30 = 2/5. Passo 2: Como não há reposição, se o primeiro aluno prefere futebol, restam 29 alunos e apenas 11 deles preferem futebol. Logo, a probabilidade de o segundo também preferir futebol, dado que o primeiro prefere, é 11/29. Passo 3: Se o primeiro aluno não prefere futebol, restam 29 alunos e os 12 que preferem futebol continuam disponíveis, então a probabilidade do segundo preferir futebol nesse caso é 12/29. Passo 4: Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Aqui a probabilidade do segundo muda conforme o resultado do primeiro (11/29 contra 12/29, e a probabilidade incondicional é 12/30), então os eventos são dependentes. Passo 5: Por que as outras alternativas estão erradas: B confunde independência com preferências diferentes, o que não tem relação com a probabilidade; C supõe que escolha aleatória garante independência, mas a escolha sem reposição faz o primeiro resultado alterar o espaço amostral do segundo; D afirma que a independência é apenas aproximada quando a turma é grande, mas com 30 alunos a diferença já é relevante e a regra é exata, não aproximada; E baseia-se na ideia de que há mais alunos que preferem futebol, mas 12 é menor que 18, e a maioria não tem influência sobre a independência. Passo 6: Conclusão: a resposta correta é a alternativa A, pois os eventos são dependentes e a probabilidade muda de 12/30 para 11/29 após o primeiro aluno ser escolhido.
💡 Dica: Compare a probabilidade do segundo evento após considerar o resultado da primeira escolha.
Alternativa por alternativa
No primeiro sorteio, a probabilidade de escolher alguém que prefere futebol é 12/30. Se o primeiro aluno prefere futebol, restam 11 desses alunos entre 29; assim, a probabilidade no segundo sorteio é 11/29. Como essas probabilidades são diferentes, os eventos são dependentes.
Acredita que eventos são independentes quando os indivíduos têm preferências diferentes, confundindo independência estatística com diversidade entre as pessoas.
Supõe que, se cada escolha é aleatória, então o resultado de uma não influencia a outra, esquecendo que sem reposição a primeira escolha altera a composição do grupo.
Por que engana: O aluno pode considerar as escolhas independentes por serem aleatórias, sem perceber que a primeira retirada altera o número de alunos e a composição do grupo restante.
Acha que a independência vale apenas aproximadamente em turmas grandes, quando na verdade a dependência surge sempre que a escolha anterior muda o espaço amostral, independentemente do tamanho.
Compara mal as quantidades, afirmando que há mais alunos que preferem futebol do que os que não preferem, quando 12 é menor que 18, e ainda associa essa comparação à independência, o que não tem relação.
Raio-X da questão
Independência de eventos
avaliacao
Probabilidade de eventos simples · Amostragem sem reposição
Revise probabilidade condicional e a definição de eventos independentes em escolhas sem reposição.
O aluno pode considerar as escolhas independentes por serem aleatórias, sem perceber que a primeira retirada altera o número de alunos e a composição do grupo restante.
tomada_decisao
cotidiano
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