Um gráfico de setores mostra os modos de deslocamento em uma cidade: 60% carro, 25% ônibus, 10% bicicleta, 5%…

Questão

Um gráfico de setores mostra os modos de deslocamento em uma cidade: 60% carro, 25% ônibus, 10% bicicleta, 5% a pé. Dois moradores são selecionados aleatoriamente sem reposição. a) Explique se os eventos “primeira pessoa usa carro” e “segunda pessoa usa carro” são independentes ou dependentes. b) Calcule a probabilidade de ambos usarem carro. c) Se a seleção fosse com reposição, como mudaria a resposta? Fundamente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) São dependentes: sem reposição a escolha da primeira pessoa altera as proporções para a segunda. b) Usando 100 moradores como referência: P(primeiro carro)=60/100. Se o primeiro usa carro, restam 59 carros entre 99 pessoas, logo P(segundo carro|primeiro carro)=59/99. Probabilidade conjunta = (60/100)·(59/99) = 0,6·0,595959… ˜ 0,3576 (35,76%). c) Com reposição as escolhas são independentes; a probabilidade passa a ser 0,6·0,6 = 0,36 (36%). A diferença é pequena aqui, mas a justificativa deve enfatizar que sem reposição há dependência e uso de probabilidade condicional, enquanto com reposição multiplica-se probabilidades marginais.

Explicação

Os eventos são dependentes sem reposição porque a escolha da primeira pessoa afeta a quantidade de carros disponíveis para a segunda. A probabilidade de ambos usarem carro é calculada considerando a redução no número total de moradores e no número de carros após a primeira escolha. Com reposição, as escolhas são independentes, pois as proporções permanecem as mesmas, permitindo a multiplicação das probabilidades marginais.

Raio-X da questão

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