Duas caixas são escolhidas com igual probabilidade. Caixa I contém 2 moedas justas; Caixa II contém uma moeda…

Questão

Duas caixas são escolhidas com igual probabilidade. Caixa I contém 2 moedas justas; Caixa II contém uma moeda dupla-face para cara (HH) e uma moeda dupla-face para coroa (TT). Escolhe-se aleatoriamente uma caixa, depois uma moeda dessa caixa e a lança-se duas vezes. Seja A = 'as duas faces mostraram cara' e B = 'a moeda veio da Caixa II'. Determine se A e B são independentes. Calcule P(A), P(B), P(AnB) e P(B|A).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Escolha das caixas: P(B)=1/2. Probabilidades condicionais: se escolher Caixa I, a moeda é justa ? P(A|¬B)= (1/2)·(1/2)=1/4. Se escolher Caixa II, a moeda é igualmente provável HH ou TT; HH dá A com prob 1, TT dá 0, então P(A|B)=(1+0)/2=1/2. Usando a lei da probabilidade total: P(A)=P(B)P(A|B)+P(¬B)P(A|¬B)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/4)=1/4+1/8=3/8. P(AnB)=P(B)P(A|B)=(1/2)(1/2)=1/4. Comparando P(AnB) e P(A)P(B): P(A)P(B)=(3/8)(1/2)=3/16?1/4, logo A e B são dependentes. Finalmente P(B|A)=P(AnB)/P(A)=(1/4)/(3/8)=2/3. Resultado: P(B)=1/2, P(A)=3/8, P(AnB)=1/4, P(B|A)=2/3; A e B são dependentes.

Explicação

A análise das probabilidades mostra que P(AnB) não é igual a P(A)P(B), indicando que os eventos A e B não são independentes. O cálculo de P(B|A) revela que, dado que A ocorreu, a probabilidade de B também ocorre é diferente de P(B), reforçando a dependência entre os eventos. Portanto, a conclusão de que A e B são dependentes é fundamentada nas propriedades das probabilidades condicionais e na lei da probabilidade total.

Raio-X da questão

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