Duas caixas são escolhidas com probabilidade igual 1/2. Caixa 1 tem 2 vermelhas e 1 azul; Caixa 2 tem 1…

Questão

Duas caixas são escolhidas com probabilidade igual 1/2. Caixa 1 tem 2 vermelhas e 1 azul; Caixa 2 tem 1 vermelha e 2 azuis. Escolhe-se, ao acaso, a caixa e extrai-se sem reposição duas bolas. Seja A = 'as duas bolas têm a mesma cor' e B = 'a caixa escolhida foi a Caixa 1'. Determine se A e B são independentes; calcule P(AnB), P(A), P(B) e P(A|B). Apresente cálculos e conclusão.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(B)=1/2. Em Caixa 1 (2V,1A): P(duas mesmas)=P(2V) + P(2A)= (2/3)(1/2)+0 = 1/3. Em Caixa 2 (1V,2A): P(duas mesmas)=0+(2/3)(1/2)=1/3. Assim P(A)=P(B)·1/3+P(not B)·1/3=1/3. P(AnB)=P(B)·P(A|B)=(1/2)·(1/3)=1/6. Note que P(A)P(B)=(1/3)·(1/2)=1/6=P(AnB), portanto A e B são independentes. Também P(A|B)=1/3.

Explicação

A análise das probabilidades mostra que a ocorrência de A, que é tirar duas bolas da mesma cor, não depende da escolha da caixa B, pois os cálculos de P(A) e P(AnB) confirmam a independência. A relação P(A)P(B) = P(AnB) indica que a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é igual ao produto das suas probabilidades individuais. Assim, a conclusão de que A e B são independentes é validada pelos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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