Escolhem-se, sem reposição e por ordem, dois números distintos do conjunto {1,2,...,20}. Defina A: 'a soma dos…

Questão

Escolhem-se, sem reposição e por ordem, dois números distintos do conjunto {1,2,...,20}. Defina A: 'a soma dos dois números é múltipla de 5' e B: 'o primeiro número é par'. Verifique se A e B são independentes, apresentando todos os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Total de resultados ordenados = 20·19 = 380. Contar pares com soma múltipla de 5: classes mod 5 têm 4 números cada; somas que dão 0 mod 5 são (0,0),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1). Para (0,0): 4·3=12 pares ordenados; para cada par distinto de classes (r,s) com r?s: 4·4=16 pares. Total favorável a A = 12 + 4·16 = 76, então P(A)=76/380=1/5. P(B)=probabilidade do primeiro ser par =10/20=1/2. Agora AnB: contar pares ordenados com primeiro par e soma =0 mod5. Em cada classe mod5 há 2 números pares; para (0,0): 2·3=6; para cada (r,s) com r?s e r par: 2·4=8. Soma dos casos =6+4·8=38, então P(AnB)=38/380=1/10. Como P(A)P(B)=(1/5)(1/2)=1/10 = P(AnB), concluímos que A e B são independentes.

Explicação

A análise das probabilidades P(A) e P(B) mostra que a soma dos pares ordenados que satisfazem ambas as condições é igual ao produto das probabilidades individuais. Isso indica que a ocorrência de A não influencia a ocorrência de B, caracterizando a independência entre os eventos. Os cálculos demonstram claramente essa relação, validando a conclusão.

Raio-X da questão

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