Retiram-se, sem reposição, dois números distintos aleatoriamente do conjunto {1,2,...,10}. Seja A: "o primeiro…

Questão

Retiram-se, sem reposição, dois números distintos aleatoriamente do conjunto {1,2,...,10}. Seja A: "o primeiro número é primo" e B: "o segundo número é primo". Calcule P(A), P(B) e P(AnB) e conclua se A e B são independentes.

1. A) P(A) = 1/5, P(B) = 2/5, P(AnB) = 1/10.
2. B) Não. P(A)=4/10=2/5; P(B)=4/10=2/5; P(AnB)=4/10·3/9=12/90=2/15. Como P(AnB)?P(A)·P(B) (2/15?4/25), são dependentes.
3. C) A e B são independentes porque há mais números que primos no conjunto.
4. D) P(A) = 4/10, P(B) = 5/10, P(AnB) = 2/5.
5. E) P(A) = 4/10, P(B) = 4/10, P(AnB) = 4/10.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identificar os primos de 1 a 10: 2, 3, 5 e 7, ou seja, 4 primos em 10 números. Passo 2: Calcular P(A). Como o primeiro número é retirado de 10 possibilidades igualmente prováveis, P(A) = 4/10 = 2/5. Passo 3: Calcular P(B). Pela simetria do sorteio sem reposição, o segundo número também tem probabilidade 4/10 = 2/5 de ser primo, pois a ordem não altera a proporção de primos no conjunto original. Passo 4: Calcular P(A∩B). Ambos os números são primos: a primeira retirada tem 4 primos em 10 números, e a segunda tem 3 primos restantes em 9 números. Logo P(A∩B) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15. Passo 5: Verificar a independência. A e B são independentes somente se P(A∩B) = P(A)·P(B). Aqui P(A)·P(B) = (2/5)·(2/5) = 4/25 = 0,16, enquanto P(A∩B) = 2/15 ≈ 0,133. Como os valores são diferentes, A e B são dependentes. Passo 6: Conferir as alternativas. A alternativa B está correta: traz os valores certos e conclui corretamente que os eventos são dependentes. Alternativa A: P(A) = 1/5 está errada, pois há 4 primos em 10 números, não 2. Alternativa C: está errada, porque a proporção de não primos não determina independência; o que importa é se saber o resultado de uma retirada altera a probabilidade da outra. Alternativa D: P(B) = 5/10 está errada, pois contaria o 1 como primo, o que é incorreto; além disso P(A∩B) = 2/5 não pode ser igual a P(A) quando a retirada é sem reposição. Alternativa E: P(A∩B) = 4/10 está errada, pois a interseção exige que o segundo número também seja primo, o que reduz a probabilidade para 2/15.

💡 Dica: Conte os primos e considere que, sem reposição, o segundo sorteio depende do primeiro.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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