Há duas urnas: Urna A contém 4 bolas azuis e 2 vermelhas; Urna B contém 3 azuis e 5 vermelhas. Escolhe-se uma…

Questão

Há duas urnas: Urna A contém 4 bolas azuis e 2 vermelhas; Urna B contém 3 azuis e 5 vermelhas. Escolhe-se uma urna ao acaso (probabilidade 1/2) e, sem reposição, extraem-se duas bolas sucessivas dessa mesma urna. a) Calcule a probabilidade de obter duas bolas azuis. b) Explique por que os eventos 'primeira bola azul' e 'segunda bola azul' são dependentes e como isso altera o cálculo em comparação com o caso com reposição.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Calcule a probabilidade condicionada em cada urna e aplique a probabilidade total. Para Urna A: P(2 azuis | A) = (4/6)·(3/5) = 12/30 = 2/5. Para Urna B: P(2 azuis | B) = (3/8)·(2/7) = 6/56 = 3/28. Como cada urna é escolhida com probabilidade 1/2, pela regra da probabilidade total: P(2 azuis) = (1/2)·(2/5) + (1/2)·(3/28) = 1/5 + 3/56 = (56+15)/280 = 71/280 ˜ 0,25357. b) Os eventos são dependentes porque, sem reposição, a ocorrência do primeiro evento altera a composição da urna e, portanto, a probabilidade do segundo evento. Em termos de fórmulas: P(B1 n B2) = P(B1)·P(B2 | B1), onde P(B2 | B1) difere de P(B2) quando não há reposição. No caso com reposição, P(B2 | B1) = P(B2) e os eventos seriam independentes.

Explicação

A probabilidade de obter duas bolas azuis depende da urna escolhida e da quantidade de bolas restantes após a primeira extração, o que caracteriza a dependência entre os eventos. Sem reposição, a probabilidade da segunda bola ser azul é afetada pela escolha da primeira, diferentemente do cenário com reposição, onde as probabilidades permanecem constantes. Assim, a aplicação da regra da probabilidade total e o cálculo das probabilidades condicionais são essenciais para determinar a probabilidade final corretamente.

Raio-X da questão

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