Lançam-se três moedas justas e independentes. Seja A = "ocorrem exatamente duas caras" e B = "a primeira moeda…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Lançam-se três moedas justas e independentes. Seja A = "ocorrem exatamente duas caras" e B = "a primeira moeda mostra cara". Calcule P(A), P(B) e P(A n B). Os eventos A e B são independentes?
- A) P(A)=4/8, P(B)=1/2, P(AnB)=1/8. A e B são independentes.
- B) P(A)=3/8, P(B)=1/2, P(AnB)=1/4. Não são independentes, pois P(AnB)?P(A)P(B).
- C) P(A)=2/8, P(B)=2/4, P(AnB)=1/8. A e B não são dependentes.
- D) P(A)=1/8, P(B)=3/8, P(AnB)=1/2. A e B são independentes.
- E) P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(AnB)=3/8. A e B são independentes.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Com três moedas há 2^3 = 8 resultados igualmente prováveis (usando C para cara e K para coroa): CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK. Passo 2: O evento A (exatamente duas caras) ocorre em CCK, CKC e KCC, ou seja, 3 casos. Logo P(A) = 3/8. Passo 3: O evento B (a primeira moeda mostra cara) ocorre em CCC, CCK, CKC e CKK, ou seja, 4 casos. Logo P(B) = 4/8 = 1/2. Passo 4: A interseção A e B exige primeira moeda cara e exatamente duas caras, o que ocorre em CCK e CKC. Logo P(A e B) = 2/8 = 1/4. Passo 5: Para verificar independência, compare P(A e B) com P(A) x P(B). Temos P(A) x P(B) = 3/8 x 1/2 = 3/16, e como 1/4 = 4/16 é diferente de 3/16, os eventos não são independentes. Passo 6: Assim, a alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial. Em A, a conta de P(A) como 4/8 e a conclusão de independência estão erradas, pois 4/8 corresponde a pelo menos duas caras. Em C, P(A) = 2/8 está errado porque faltou um dos três casos, e P(A e B) = 1/8 também está errado, embora a conclusão de não independência esteja certa. Em D, P(A) = 1/8 corresponde apenas a CCC, que tem três caras, e P(A e B) = 1/2 é maior que P(A), o que é impossível. Em E, P(B) = 1/4 confunde a primeira moeda com as duas primeiras, P(A e B) = 3/8 está errado e a afirmação de independência também.
💡 Dica: Calcule as probabilidades usando a fórmula de probabilidade para eventos independentes.
Alternativa por alternativa
Interpretou exatamente duas caras como pelo menos duas caras, obtendo 4/8, e concluiu independência sem comparar corretamente P(A e B) com P(A) x P(B).
Por que engana: Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, levando a um cálculo incorreto de P(A n B).
Espaço amostral tem 2³=8 resultados. Há 3 resultados com exatamente duas caras, logo P(A)=3/8. P(B)=1/2 pelo primeiro lançamento. P(AnB) corresponde a HHT e HTH ? 2/8=1/4. Como 1/4 ? (3/8)(1/2)=3/16, são dependentes.
Listou apenas dois dos três casos de exatamente duas caras, obtendo 2/8, e também calculou P(A e B) = 1/8 sem contar corretamente os casos em que a primeira moeda é cara.
Confundiu exatamente duas caras com três caras (apenas CCC, 1/8) e contou P(B) como 3/8; além disso atribuiu a P(A e B) um valor maior que P(A), o que contraria a ideia de que a interseção está contida em A.
Interpretou primeira moeda cara como as duas primeiras moedas caras (1/4) e calculou P(A e B) = 3/8 sem respeitar a condição do evento, o que levou também a uma verificação errada de independência.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos
avaliacao
cálculo de probabilidades · eventos independentes
Revisar as regras de cálculo de probabilidade e eventos independentes.
Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, levando a um cálculo incorreto de P(A n B).
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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