Experimento em duas etapas: lança-se uma moeda com P(Cara)=p (0<p<1). Se sair Cara escolhe-se uniformemente um…

Questão

Experimento em duas etapas: lança-se uma moeda com P(Cara)=p (0<p<1). Se sair Cara escolhe-se uniformemente um número em {1,2,3,4}; se sair Coroa escolhe-se uniformemente um número em {1,2,3,4,5,6}. (a) Determine P(sair número par) em função de p. (b) Os eventos 'moeda dá Cara' e 'sair número par' são independentes? Justifique algebraicamente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) P(par)=P(Cara)·P(par|Cara)+P(Coroa)·P(par|Coroa)=p·(2/4)+(1-p)·(3/6)=p·1/2+(1-p)·1/2=(1/2)(p+1-p)=1/2. (b) P(par|Cara)=2/4=1/2 e P(par)=1/2 ? P(par|Cara)=P(par), portanto os eventos são independentes. Raciocínio: apesar de os conjuntos terem tamanhos diferentes, as probabilidades condicionais de obter par em cada ramo são iguais a 1/2, o que garante independência em toda a árvore de probabilidade.

Explicação

A probabilidade de sair um número par é calculada considerando as duas possibilidades da moeda e suas respectivas distribuições, resultando em uma probabilidade total de 1/2. Para verificar a independência, comparamos a probabilidade de sair um número par dado que a moeda mostrou Cara com a probabilidade total de sair um número par, e como ambas são iguais a 1/2, conclui-se que os eventos são independentes. A igualdade das probabilidades condicionais confirma que o resultado de um evento não influencia o outro, caracterizando a independência.

Raio-X da questão

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