Há três moedas: moeda A é justa (P(C)=1/2), moeda B tem duas caras (P(C)=1), moeda C tem P(C)=3/4. Escolhe-se…

Questão

Há três moedas: moeda A é justa (P(C)=1/2), moeda B tem duas caras (P(C)=1), moeda C tem P(C)=3/4. Escolhe-se uma moeda ao acaso (prob. 1/3 cada) e a lança-se duas vezes. (a) Calcule P(H1), P(H2) e P(H1 n H2) (H1=1ª cara, H2=2ª cara). (b) Discuta se os dois lançamentos são independentes no experimento total e se são independentes condicionando a moeda escolhida.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: Seja C1,C2,C3 as moedas A,B,C. P(H1)=S_{i=1}^3 P(escolher Ci)·P(H|Ci)=(1/3)(1/2+1+3/4)=(1/3)(2,25)=0,75. Igual para P(H2)=0,75. P(H1nH2)=S (1/3)·P(H,H|Ci)=(1/3)( (1/2)^2 + 1^2 + (3/4)^2 )=(1/3)(0,25+1+0,5625)=1,8125/3˜0,6041667. Produto P(H1)P(H2)=0,75·0,75=0,5625. Como P(H1nH2)˜0,60417 ?0,5625, os lançamentos não são independentes no experimento total. Contudo, condicionando a moeda Ci, os dois lançamentos são independentes para cada moeda (por exemplo, para A: P(H1nH2|A)=1/4 = P(H1|A)P(H2|A)); o mesmo vale para B e C. Conclusão: dependência aparece porque a escolha aleatória da moeda correlaciona os resultados; condicionando a moeda, a independência é restaurada.

Explicação

A solução utiliza a regra da probabilidade total para calcular as probabilidades dos eventos H1 e H2, considerando a escolha aleatória das moedas. A dependência entre os lançamentos surge da escolha da moeda, que afeta os resultados, enquanto a independência é restaurada quando condicionamos à moeda escolhida, pois os lançamentos tornam-se independentes dentro de cada tipo de moeda. Assim, a análise mostra a diferença entre a independência no contexto total e a independência condicionada.

Raio-X da questão

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