Escolhe-se, uniformemente, um inteiro n em {1,2,...,15} e, independentemente, escolhe-se, uniformemente, um…

Questão

Escolhe-se, uniformemente, um inteiro n em {1,2,...,15} e, independentemente, escolhe-se, uniformemente, um divisor d de 15 (conjunto {1,3,5,15}). Seja A = 'n é múltiplo de 3' e B = 'd = 5'. Calcule P(A), P(B), P(A n B) e determine se A e B são independentes.

1. A) P(A)=5/15=1/3; P(B)=1/4; P(AnB)=P(A)P(B)=1/12. A e B são independentes.
2. B) P(A) = 1/4, pois 3 é o único múltiplo entre 1 e 15.
3. C) P(A n B) = 1/6, pois somente n=3 satisfaz.
4. D) P(B) = 1/3, considerando que 1, 3 e 5 são divisores.
5. E) A e B são dependentes, pois ambos podem ocorrer com n = 3.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Espaço amostral: n pode ser qualquer inteiro de 1 a 15 (15 casos) e d pode ser 1, 3, 5 ou 15 (4 casos), com escolhas independentes, totalizando 60 pares igualmente prováveis. Passo 2: P(A): os múltiplos de 3 entre 1 e 15 são 3, 6, 9, 12 e 15, ou seja, 5 valores. Logo P(A) = 5/15 = 1/3. Passo 3: P(B): só existe um d igual a 5 entre os 4 divisores de 15. Logo P(B) = 1/4. Passo 4: A e B dependem de variáveis escolhidas independentemente (n e d), então P(A interseção B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 1/4 = 1/12. Como essa igualdade vale, A e B são independentes. Passo 5: Conferência direta: a interseção corresponde aos pares com n múltiplo de 3 e d = 5, isto é, 5 x 1 = 5 pares em 60, que dá 5/60 = 1/12. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B confunde a quantidade de múltiplos de 3 (são 5, não 1) com a probabilidade; C calcula a interseção considerando apenas n = 3 e ignora os demais múltiplos e a escolha de d; D esquece que 15 também é divisor de 15; E confunde ocorrer simultaneamente com dependência, já que eventos compatíveis podem ser independentes. Gabarito oficial A confirmado.

💡 Dica: Calcule as probabilidades separadamente antes de verificar a independência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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