Sorteia-se um ângulo ? uniformemente em [0,2p). Defina A = {sin ? > 0} e B = {cos ? > 0}. Calcule P(A), P(B)…

Questão

Sorteia-se um ângulo ? uniformemente em [0,2p). Defina A = {sin ? > 0} e B = {cos ? > 0}. Calcule P(A), P(B), P(AnB) e determine se A e B são independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(A)=medida{?:sin?>0}/2p = (p)/(2p)=1/2. P(B)=1/2 por simetria. AnB corresponde ao primeiro quadrante ??(0,p/2), medida p/2 ? P(AnB)=(p/2)/(2p)=1/4. Como 1/4=1/2·1/2, A e B são independentes.

Explicação

Para calcular as probabilidades, consideramos a distribuição uniforme do ângulo em um intervalo de 0 a 2p, onde a medida dos subconjuntos A e B corresponde à proporção dos ângulos em que as funções seno e cosseno são positivas. A interseção AnB representa o primeiro quadrante, onde ambas as funções são positivas, resultando em uma probabilidade que é o produto das probabilidades individuais de A e B, confirmando a independência. Assim, a relação entre as probabilidades demonstra que A e B não influenciam uma à outra.

Raio-X da questão

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