Um tanque cilíndrico contém volume Vc com raio r = 1,20 m e altura hc = 2,50 m. Deseja-se construir um prisma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um tanque cilíndrico contém volume Vc com raio r = 1,20 m e altura hc = 2,50 m. Deseja-se construir um prisma reto cuja base é um triângulo de base b = 1,50 m e altura do triângulo a = 1,00 m, de modo que o prisma tenha o mesmo volume do cilindro. Determine a altura H do prisma.
- A) H = (Vc)/(b·a) = 4,0 m.
- B) H = (2·p·r²·hc)/(b·a) = (2·p·1,44·2,5)/(1,5·1,0) = p·4,8 ˜ 15,080 m.
- C) H = (p·1,44·2,5)/(1,5·1,0) = 2,5 m.
- D) H = (p·r²·hc)/(b · a) = 3,6 m.
- E) H = (2·1,44·2,5)/(1,5·1,0) = 1,6 m.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule o volume do cilindro: Vc = π·r²·hc = π·1,20²·2,50 = π·1,44·2,50 = 3,6π m³, aproximadamente 11,31 m³.
- Calcule a área da base triangular do prisma: como a base é um triângulo, A = (b·a)/2 = (1,50·1,00)/2 = 0,75 m². Esse é o passo que costuma ser esquecido.
- O volume do prisma é V = área da base·H = 0,75·H.
- Iguale os volumes para que sejam iguais: 0,75·H = 3,6π, logo H = 3,6π/0,75 = 4,8π m. Em forma equivalente, H = (2·π·r²·hc)/(b·a) = 2·3,6π/1,5 = 4,8π.
- Com π ≈ 3,1416, H ≈ 15,08 m. Portanto a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial. O símbolo '˜' presente na alternativa B é apenas um erro de digitação e não altera o valor.
- Por que as outras estão erradas: a A usa a área do retângulo (b·a) em vez da área do triângulo e ainda apresenta 4,0 m, valor que não corresponde à própria fórmula; a C e a D omitem o fator 1/2 da área triangular, e a D ainda traz um resultado numérico (3,6 m) que ignora o π; a E esquece o π do volume do cilindro e chega a 1,6 m.
💡 Dica: Calcule o volume do cilindro e iguale ao volume do prisma.
Alternativa por alternativa
O aluno trata a base do prisma como se fosse retangular, usando b·a como área, e não divide por 2. Além disso, o valor 4,0 m não decorre da fórmula apresentada.
Vc = pr²hc. Área do triângulo = (b·a)/2, então Vprisma = (b·a/2)·H. Igualando: H = Vc / (b·a/2) = (2·Vc)/(b·a) = (2·p·r²·hc)/(b·a). Substituindo os valores obtém-se H ˜ 15,080 m.
O aluno calcula corretamente o volume do cilindro com π, mas usa b·a como área da base triangular, esquecendo o fator 1/2. O valor final 2,5 m também não corresponde à expressão escrita.
O aluno usa a mesma fórmula de área sem o 1/2 do triângulo, ou seja, trata a base como retângulo. Ao escrever o resultado, ainda parece ignorar o π, obtendo 3,6 m, que é apenas r²·hc.
Por que engana: Confundir as fórmulas de volume do cilindro e do prisma, aplicando incorretamente as dimensões.
O aluno esquece o π na fórmula do volume do cilindro, tratando-o como se fosse um cilindro sem a constante π. Ele aplica bem a divisão pela área, mas parte de um volume errado.
Raio-X da questão
volume de sólidos
avaliacao
cálculo de volume · prismas e cilindros
Revisar o cálculo de volume de cilindros e prismas.
Confundir as fórmulas de volume do cilindro e do prisma, aplicando incorretamente as dimensões.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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