Um planeta esférico tem massa M = 1,00×10^23 kg e raio R = 1,00×10^6 m. Um satélite de massa m = 500 kg está…

Questão

Um planeta esférico tem massa M = 1,00×10^23 kg e raio R = 1,00×10^6 m. Um satélite de massa m = 500 kg está inicialmente em órbita circular a h1 = 2,00×10^5 m acima da superfície (r1 = R+h1) e deve ser transferido para uma órbita circular superior a h2 = 6,00×10^5 m (r2 = R+h2) por meio de uma transferência de Hohmann. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. Determine: (a) velocidades orbitais v1 e v2; (b) velocidades no perigeu e apogeu da elipse de transferência (vp e va) e os impulsos ?v1 e ?v2 necessários; (c) variação da energia mecânica total do satélite ?E = E2-E1. Forneça fórmulas, cálculos numéricos e unidades SI.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: M = 1,00×10^23 kg, m = 500 kg, R = 1,00×10^6 m, h1 = 2,00×10^5 m ? r1 = 1,20×10^6 m; h2 = 6,00×10^5 m ? r2 = 1,60×10^6 m. G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. Calcule GM = G·M = 6,67×10^-11·1,00×10^23 = 6,67×10^12 m^3/s^2. (a) Velocidades orbitais circulares: v = v(GM/r). - v1 = v(6,67×10^12 / 1,20×10^6) = v(5,5583×10^6) = 2,36×10^3 m/s. - v2 = v(6,67×10^12 / 1,60×10^6) = v(4,1688×10^6) = 2,04×10^3 m/s. (b) Transferência de Hohmann: semieixo maior da elipse at = (r1 + r2)/2 = 1,40×10^6 m. Velocidade no perigeu da elipse: vp = v[GM(2/r1 - 1/at)]. - 2/r1 - 1/at = 2/1,20×10^6 - 1/1,40×10^6 = 9,52381×10^-7 m^-1. - vp = v(6,67×10^12 · 9,52381×10^-7) = v(6,3495×10^6) = 2,52×10^3 m/s. ?v1 = vp - v1 = 2,5209×10^3 - 2,3584×10^3 = 1,63×10^2 m/s. Velocidade no apogeu da elipse: va = v[GM(2/r2 - 1/at)]. - 2/r2 - 1/at = 2/1,60×10^6 - 1/1,40×10^6 = 5,35714×10^-7 m^-1. - va = v(6,67×10^12 · 5,35714×10^-7) = v(3,5738×10^6) = 1,89×10^3 m/s. ?v2 = v2 - va = 2,0414×10^3 - 1,8905×10^3 = 1,51×10^2 m/s. Total de ?v ˜ 3,13×10^2 m/s. (c) Energia mecânica da órbita circular: E = -GMm/(2r). Variação ?E = E2 - E1 = -GMm/(2r2) - (-GMm/(2r1)) = (GMm/2)(1/r1 - 1/r2). - Prefator GMm/2 = (6,67×10^12 · 500)/2 = 1,6675×10^15 J·m. - 1/r1 - 1/r2 = 1/1,20×10^6 - 1/1,60×10^6 = 2,08333×10^-7 m^-1. - ?E = 1,6675×10^15 · 2,08333×10^-7 = 3,47×10^8 J. Resultados finais (arredondados): - v1 = 2,36×10^3 m/s; v2 = 2,04×10^3 m/s. - vp = 2,52×10^3 m/s; va = 1,89×10^3 m/s. - ?v1 = 1,63×10^2 m/s; ?v2 = 1,51×10^2 m/s; ?v_total ˜ 3,13×10^2 m/s. - ?E ˜ +3,47×10^8 J (energia mecânica do satélite aumenta).

Explicação

Os cálculos realizados para determinar as velocidades orbitais e os impulsos necessários utilizam as fórmulas da mecânica orbital, que relacionam a gravitação com a velocidade em órbita e a energia mecânica. A variação de energia é calculada a partir da diferença entre as energias mecânicas nas duas órbitas, demonstrando que a energia total do satélite aumenta durante a transferência. A aplicação das fórmulas e a correta consideração dos parâmetros físicos garantem a precisão dos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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