Explique e calcule as mudanças de velocidade e de energia ao transferir um satélite de massa 500 kg em órbita…

Questão

Explique e calcule as mudanças de velocidade e de energia ao transferir um satélite de massa 500 kg em órbita circular de 800 km de altitude para uma órbita circular de 200 km usando uma manobra de Hohmann. Use R_terra = 6,4×106 m, g = 10 m/s² e derive µ = g·R². Apresente fórmulas, valores numéricos e interpretação física.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: R = 6,4×106 m, h1 = 800 km = 8,0×105 m, h2 = 200 km = 2,0×105 m, m = 500 kg, g = 10 m/s². Tomamos µ = G M = g R² = 10·(6,4×106)² = 4,096×10¹4 m³/s². 1) Raios das órbitas: r1 = R + h1 = 7,2×106 m; r2 = R + h2 = 6,6×106 m. 2) Velocidades circulares: v_circ = v(µ/r). v1 = v(4,096×10¹4 / 7,2×106) ˜ v(5,6889×107) ˜ 7 543 m/s. v2 = v(4,096×10¹4 / 6,6×106) ˜ v(6,2061×107) ˜ 7 885 m/s. 3) Órbita de transferência (semieixo a): a = (r1 + r2)/2 = 6,9×106 m. Velocidade no perigeu da elipse (no ponto r1): v_per = v[µ(2/r1 - 1/a)] ˜ 7 377 m/s. Velocidade no apogeu da elipse (no ponto r2): v_ap = v[µ(2/r2 - 1/a)] ˜ 8 047 m/s. 4) ?v para a manobra de Hohmann (magnitudes): ?v1 = |v_per - v1| ˜ |7 377 - 7 543| ˜ 166 m/s (queimar retrogrado no r1 para descer). ?v2 = |v2 - v_ap| ˜ |7 885 - 8 047| ˜ 162 m/s (ajuste em r2). ?v_total ˜ 328 m/s (soma das magnitudes). 5) Variação de energia mecânica por unidade de massa: e = -µ/(2r). e1 = -4,096×10¹4 /(2·7,2×106) ˜ -2,844×107 J/kg. e2 = -4,096×10¹4 /(2·6,6×106) ˜ -3,103×107 J/kg. ?e = e2 - e1 ˜ -2,586×106 J/kg ? para m=500 kg, ?E ˜ m·?e ˜ -1,29×10? J (energia total diminuída, liberada dissipada em calor/propulsor). Interpretação física: a transferência reduz a energia total do satélite (mais negativa), exigindo que o sistema de propulsão realize queima retrograda para perder energia e ajustar a órbita; os ?v calculados são ordens de grandeza para dimensionar propulsão e combustível. Fórmulas usadas: v = v(µ/r), v_transfer = v[µ(2/r - 1/a)], e = -µ/(2r), µ = g R² com unidades SI (m, s).

Explicação

A explicação detalha os cálculos necessários para determinar as velocidades nas órbitas inicial e final, além das velocidades na manobra de Hohmann, mostrando a variação de velocidade necessária para a transferência entre as órbitas. Também aborda a variação de energia mecânica, evidenciando a diminuição da energia total do satélite e a necessidade de queima retrograda para ajustar a trajetória. A interpretação física conecta os resultados numéricos à prática de engenharia espacial, essencial para o planejamento de manobras orbitais.

Raio-X da questão

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