Considere dois corpos isolados separados por r = 1,00×10^8 m com massas M1 = 5,00×10^24 kg e M2 = 1,00×10^23…

Questão

Considere dois corpos isolados separados por r = 1,00×10^8 m com massas M1 = 5,00×10^24 kg e M2 = 1,00×10^23 kg. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. a) Determine a posição do centro de massa em relação ao M1. b) Assumindo órbita circular mútua, calcule ? (s^-1), o período T (s), e as velocidades lineares v1 e v2 (m/s). c) Calcule a energia mecânica total do sistema (J). d) Explique qualitativamente como um pequeno impulso externo aplicado a M2 afetaria o centro de massa e as órbitas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculos/modelo: 1) Centro de massa: x_cm = (M2·r)/(M1+M2) = (1,00×10^23·1,00×10^8)/(5,10×10^24) = 1,96×10^6 m (medido a partir de M1). 2) Frequência angular: ? = sqrt[G(M1+M2)/r^3] = sqrt[(6,67×10^-11·5,10×10^24)/(1,00×10^24)] ˜ 1,84×10^-5 s^-1. 3) Período: T = 2p/? ˜ 6,283/1,84×10^-5 ˜ 3,41×10^5 s ˜ 3,95 dias. 4) Raios relativos: r1 = x_cm = 1,96×10^6 m; r2 = r - r1 = 9,804×10^7 m. Velocidades: v1 = ?·r1 ˜ 1,84×10^-5·1,96×10^6 ˜ 3,62×10^1 m/s; v2 = ?·r2 ˜ 1,84×10^-5·9,804×10^7 ˜ 1,81×10^3 m/s. 5) Energia mecânica total (óptica two-body circular): E = -G M1 M2 /(2 r) = -(6,67×10^-11·5,00×10^24·1,00×10^23)/(2·1,00×10^8) ˜ -1,67×10^29 J. 6) Interpretação qualitativa: um impulso externo em M2 altera o momento linear total ? muda a velocidade do centro de massa (CM) sem alterar, em primeira ordem, as equações relativas se traduzirmos para o referencial do CM. Contudo, no referencial do CM o impulso modifica a velocidade relativa entre as massas, portanto muda a energia orbital e a excentricidade; impulso pequeno provoca variação de semi-eixo e/ou excentricidade (mudança de órbita), impulso suficientemente grande pode descolar as massas (sistema deixa de estar ligado).

Explicação

A solução apresenta os cálculos necessários para determinar o centro de massa, a frequência angular, o período e as velocidades lineares dos corpos, utilizando as fórmulas apropriadas da gravitação. Além disso, a análise qualitativa sobre o impacto de um impulso externo no sistema explica como isso afeta o movimento relativo e a energia orbital, demonstrando compreensão das leis da física envolvidas. A abordagem sistemática e a aplicação correta das fórmulas garantem a precisão dos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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