Um triângulo retângulo tem cateto adjacente ao ângulo de 30° medindo 800 m. Calcule a área do triângulo usando…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um triângulo retângulo tem cateto adjacente ao ângulo de 30° medindo 800 m. Calcule a área do triângulo usando trigonometria (use tan30°).
- A) Altura h = 800·tan60°; área = 0,5·800·h = 320000 m²
- B) Altura h = 800·tan30°; área = 0,5·800·(800·tan30°) = 320000·tan30° ˜ 184752,09 m².
- C) Altura h = 800·cos30°; área = 0,5·800·h = 160000 m²
- D) Altura h = 800·tan45°; área = 0,5·800·h = 320000 m²
- E) Altura h = 800·sin30°; área = 0,5·800·h = 200000 m²
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os catetos. O cateto adjacente ao ângulo de 30° mede 800 m. O outro cateto é o oposto ao ângulo de 30°, que chamaremos de h, e é a altura relativa ao cateto de 800 m. Passo 2: Use a tangente, que relaciona cateto oposto e cateto adjacente: tan30° = h / 800, logo h = 800·tan30°. Como tan30° é aproximadamente 0,57735, h é aproximadamente 461,88 m. Passo 3: Calcule a área do triângulo retângulo, que é metade do produto dos catetos: A = 0,5·800·h = 0,5·800·(800·tan30°) = 320000·tan30°. Com tan30° ≈ 0,57735, a área é aproximadamente 184752,09 m². Passo 4: Conferindo com as alternativas, a B traz exatamente essa expressão e esse valor, por isso ela está correta e coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A usa tan60°, que é o ângulo complementar, e não tan30°; C usa cos30°, que relaciona o adjacente com a hipotenusa, e o valor 160000 nem corresponde a 0,5·800·692,8; D supõe tan45°, ignorando o ângulo de 30° dado; E usa sen30°, que exige a hipotenusa, e o valor 200000 também não é o resultado de 0,5·800·400, que seria 160000.
💡 Dica: Calcule a altura usando a tangente e depois a área.
Alternativa por alternativa
O aluno usa a tangente do ângulo complementar, achando que o cateto oposto a 30° é 800·tan60°. Não percebe que a relação correta com o ângulo de 30° usa tan30°.
Por que engana: Confundir as funções trigonométricas e usar a altura errada para calcular a área do triângulo.
Para o ângulo dado, a altura relativa à base é h = base·tan30°. A área é (1/2)·base·h, substituindo h resulta em 0,5·800·800·tan30°.
O aluno usa cosseno, que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa, para obter a altura. Além disso, o valor 160000 m² não é coerente com a própria altura escrita, pois 0,5·800·(800·cos30°) daria cerca de 277128 m².
O aluno supõe que o ângulo é de 45° e que o triângulo é isósceles, ignorando o dado de 30° do enunciado. Assim, a altura fica igual a 800 m.
O aluno usa seno para encontrar a altura, o que exigiria a hipotenusa, e não o cateto adjacente dado. Além disso, comete erro de cálculo: 0,5·800·400 é 160000, não 200000.
Raio-X da questão
área de triângulo retângulo
avaliacao
trigonometria em triângulos · cálculo de área de triângulos
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a fórmula da área.
Confundir as funções trigonométricas e usar a altura errada para calcular a área do triângulo.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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