Em uma pesquisa sobre a orientação de plantas em uma área de restauração da Mata Atlântica, estudantes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa sobre a orientação de plantas em uma área de restauração da Mata Atlântica, estudantes acompanharam a sombra projetada por uma haste vertical que representa o caule de uma muda. A altura da haste permanece constante, h = 1,00 m, enquanto o ângulo A entre os raios solares e o solo aumenta à medida que o Sol se desloca no céu. Para uma haste vertical, o comprimento da sombra s é descrito por s = h·cot A. Em determinado instante, A = 40,0° e sua taxa de variação é dA/dt = 0,20°/min. Considerando o modelo descrito no texto e convertendo corretamente a taxa angular para radianos por segundo, determine a taxa de variação do comprimento da sombra, ds/dt, nesse instante. Apresente a equação diferencial utilizada e interprete o sinal obtido.
- A) A taxa de variação é dada por ds/dt = -h·sec²(A)·dA/dt. Após as conversões de unidade, obtém-se ds/dt ≈ -9,91×10^-5 m/s.
- B) A taxa de variação é dada por ds/dt = -h·csc²(A)·dA/dt. Usando diretamente 0,20 como taxa temporal, obtém-se ds/dt ≈ -4,84×10^-1 m/s.
- C) A taxa de variação é dada por ds/dt = h·sen²(A)·dA/dt. Substituindo os dados, obtém-se ds/dt ≈ +3,73×10^-5 m/s.
- D) A taxa de variação é dada por ds/dt = -h·csc²(A)·dA/dt. Como 0,20°/min = 0,20·π/(180·60) rad/s, então ds/dt = -(1,00)·csc²(40,0°)·5,82×10^-5 ≈ -1,41×10^-4 m/s. O sinal negativo indica que a sombra está encurtando.
- E) A taxa de variação é dada por ds/dt = -h·csc²(A)·dA/dt. Convertendo 0,20°/min apenas para radianos por minuto, obtém-se ds/dt ≈ -8,45×10^-3 m/s.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função é s = h·cot(A). Derivando em relação ao tempo pela regra da cadeia, ds/dt = h·(-csc²(A))·dA/dt = -h·csc²(A)·dA/dt, pois a derivada de cot(A) é -csc²(A). Passo 2: Converter a taxa angular para radianos por segundo. 0,20°/min = 0,20·π/180 rad por minuto = 0,0034907 rad/min, e dividindo por 60, dA/dt ≈ 5,82×10^-5 rad/s. Passo 3: Calcular csc²(40,0°) = 1/sen²(40,0°). Como sen(40°) ≈ 0,6428, sen² ≈ 0,4132 e csc² ≈ 2,420. Passo 4: Substituir: ds/dt = -(1,00)·(2,420)·(5,82×10^-5) ≈ -1,41×10^-4 m/s. Passo 5: Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que a sombra está diminuindo, ou seja, encurtando, à medida que o ângulo A aumenta com o deslocamento do Sol. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A usa sec² (derivada de tan) em vez de csc²; B usa 0,20 sem converter a unidade de graus para radianos; C troca csc² por sen² e perde o sinal negativo; E converte apenas para radianos por minuto e ainda expressa o resultado em m/s, sem dividir por 60. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Converta a taxa angular para rad/s antes de aplicar na equação.
Alternativa por alternativa
O aluno aplica a derivada de tangente (sec²) em vez da derivada de cotangente (-csc²), confundindo as funções trigonométricas recíprocas e seus pares de derivadas.
O aluno usa corretamente csc², mas trata 0,20°/min como se fosse 0,20 rad/s, esquecendo a conversão de unidade angular e chegando a uma taxa absurdamente grande.
Por que engana: Confundir a relação entre as funções trigonométricas e a taxa de variação, aplicando a fórmula errada para calcular ds/dt.
O aluno escreve ds/dt = h·sen²(A)·dA/dt, confundindo a derivada de cot(A) com uma expressão em seno, e ainda obtém sinal positivo, o que indicaria sombra crescendo, contrariando o enunciado.
Derivando s = h·cot A em relação ao tempo, com h constante, obtém-se ds/dt = -h·csc²(A)·dA/dt. É necessário converter a taxa angular de graus por minuto para radianos por segundo, pois a derivada trigonométrica utiliza o ângulo em radianos. Como csc²(40,0°) ≈ 2,42, o resultado é aproximadamente -1,41×10^-4 m/s. O valor negativo representa diminuição do comprimento da sombra.
O aluno converte o ângulo apenas para radianos por minuto e não para radianos por segundo, mas rotula o resultado como m/s, misturando as unidades de tempo.
Raio-X da questão
taxa de variação da sombra
avaliacao
taxa de variação · funções trigonométricas
Revisar derivadas e taxas de variação em funções trigonométricas.
Confundir a relação entre as funções trigonométricas e a taxa de variação, aplicando a fórmula errada para calcular ds/dt.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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