Um gnômon vertical de altura h = 1,50 m está em latitude f = 20,0°N. No instante em que a sombra do gnômon…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um gnômon vertical de altura h = 1,50 m está em latitude f = 20,0°N. No instante em que a sombra do gnômon diminui a uma taxa ds/dt = -0,0200 m/min e a altura solar é A = 30,0°, determine a taxa angular de variação da altura solar dA/dt em rad/min e em °/min. Use s = h·cot A (A em rad) e ds/dA = -h·csc^2 A.
- A) dA/dt = 0 rad/min (a altura solar não varia).
- B) dA/dt = 3,33×10^-3 rad/min ˜ 0,191°/min (aumentando).
- C) dA/dt = 0,1 rad/min (uma taxa de variação excessiva).
- D) dA/dt = -0,005 rad/min (a altura solar está diminuindo).
- E) dA/dt = 10°/min (uma taxa absurda para a situação).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. h = 1,50 m, ds/dt = -0,0200 m/min e A = 30,0 graus. A questão pede dA/dt, a taxa com que a altura solar varia. Passo 2: Use a regra da cadeia, que relaciona as taxas: ds/dt = (ds/dA) · (dA/dt), logo dA/dt = (ds/dt) / (ds/dA). Passo 3: Calcule csc A para A = 30 graus. Como sen 30 graus = 0,5, csc A = 2 e csc^2 A = 4. Passo 4: Calcule ds/dA = -h · csc^2 A = -1,50 · 4 = -6,00 m por radiano. Passo 5: Calcule dA/dt = (-0,0200) / (-6,00) = 0,00333 rad/min, ou seja, 3,33 x 10^-3 rad/min. Passo 6: Converta para graus. Como 1 rad = 57,2958 graus, dA/dt = 3,33 x 10^-3 · 57,2958 = 0,191 graus/min. Passo 7: Interprete o sinal. O resultado é positivo porque o numerador e o denominador são ambos negativos. Assim, a altura solar está aumentando, o que é coerente com a sombra encurtando ao longo do dia. Passo 8: Conclusão. A alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque a altura solar varia enquanto a sombra muda. A alternativa C está errada porque o valor 0,1 rad/min não resulta da fórmula dada. A alternativa D está errada porque o sinal é positivo e o módulo não considera o fator h. A alternativa E está errada porque confunde a unidade e não corresponde à conversão correta de rad para graus. Dado extra: a latitude de 20,0 graus N não é necessária para este cálculo.
💡 Dica: Utilize as relações dadas para encontrar a taxa de variação angular.
Alternativa por alternativa
Acredita que, como a questão fala em taxa de variação da sombra, a altura solar permanece constante ou que a sombra e a altura não estão relacionadas. Não percebe que s = h cot A liga as duas grandezas.
ds/dt = (ds/dA)·dA/dt com ds/dA = -h·csc^2A. Para h=1,5 m e A=30° (p/6 rad), csc^2A=4 ? ds/dA = -6,0 m/rad. Assim dA/dt = (-0,0200)/(-6,0)=3,333×10^-3 rad/min = 3,333×10^-3·(180/p)=0,191°/min.
Calcula a derivada de forma incorreta, por exemplo ignorando o fator csc^2 A ou usando uma relação errada entre ds/dt e dA/dt, e obtém uma ordem de grandeza muito maior que a correta (0,1 rad/min).
Esquece o fator h = 1,50 m ao calcular ds/dA (obtendo 4 em vez de 6) e interpreta de forma errada o sinal, concluindo que a altura solar diminui porque a sombra diminui.
Por que engana: Confundir a relação entre a taxa de variação da sombra e a altura solar, levando a um cálculo incorreto da taxa angular.
Confunde radianos com graus, ou usa a derivada com A em graus sem converter, e reporta um valor de 10 graus/min, que não tem relação com o resultado correto de 0,191 graus/min.
Raio-X da questão
taxa de variação angular
avaliacao
taxa de variação angular · cotangente e cosseno
Revisar as relações trigonométricas e suas derivadas.
Confundir a relação entre a taxa de variação da sombra e a altura solar, levando a um cálculo incorreto da taxa angular.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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