Um gnômon vertical de altura h = 1,00 m projeta sombra s = h·cot A (A em rad). Num instante A = 45,0° e a taxa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um gnômon vertical de altura h = 1,00 m projeta sombra s = h·cot A (A em rad). Num instante A = 45,0° e a taxa angular de variação da altura solar é dA/dt = 0,250°/min. Calcule a velocidade ds/dt da ponta da sombra em m/min. Use 1° = p/180 rad.
- A) -4,36×10?² m/min
- B) 8,73×10?³ m/min
- C) -8,73×10?³ m/min
- D) 0 m/min
- E) -1,00 m/min
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a função. Como s = h·cot A, com h = 1,00 m constante, a taxa de variação da sombra é ds/dt = h·(d/dA)(cot A)·(dA/dt) = -h·csc^2 A·(dA/dt). O sinal negativo vem da derivada de cot A, que é -csc^2 A.
- Calcule csc^2 em 45,0°. sen 45° = raiz de 2 / 2, logo sen^2 45° = 1/2 e csc^2 45° = 2.
- Converta a taxa angular para radianos. dA/dt = 0,250° por minuto = 0,250·(p/180) rad/min = 0,004363 rad/min.
- Substitua. ds/dt = -1,00 · 2 · 0,004363 = -0,008727 m/min, ou seja, aproximadamente -8,73×10^-3 m/min.
- Conclusão. A alternativa C é a correta e coincide com o gabarito oficial. O sinal negativo faz sentido físico: à medida que o Sol sobe (A cresce), a sombra encurta.
- Por que as outras estão erradas: A) o valor -4,36×10^-2 é cerca de cinco vezes maior que o correto, indicando erro de escala na conversão de graus para radianos. B) o valor tem o módulo certo, mas o sinal positivo ignora que a sombra diminui quando A aumenta. D) afirmar que a velocidade é zero supõe que a sombra não varia, o que contraria a relação s = h·cot A. E) o valor -1,00 m/min resulta de usar 0,250 sem converter para radianos e de tomar csc^2 45° como 4, em vez de 2.
💡 Dica: Utilize a relação entre a altura e a sombra para derivar a velocidade.
Alternativa por alternativa
Provavelmente errou a escala na conversão de graus para radianos, ou fez a multiplicação com uma ordem de grandeza deslocada, obtendo um valor cerca de cinco vezes maior que o correto.
Por que engana: Confundir a relação entre a cotangente e a taxa de variação, resultando em um sinal incorreto na resposta.
Acertou o módulo da taxa, mas esqueceu o sinal negativo da derivada de cot A. Assim, concluiu que a sombra cresce quando o Sol sobe, o que é o oposto do que acontece.
ds/dt = -h·csc²A·dA/dt. Em A=45° csc²A=2. Converter dA/dt: 0,250°/min = (0,250·p/180) rad/min = p/720 rad/min. Então ds/dt = -1·2·(p/720) = -0,00872665 m/min ˜ -8,73×10?³ m/min.
Acredita que a sombra de um gnômon fixo não muda com o tempo, talvez por intuição do dia a dia. Não percebeu que a variação do ângulo solar altera o comprimento da sombra.
Usou 0,250 como se já estivesse em radianos, sem fazer a conversão de graus. Também tomou csc^2 45° como 4 em vez de 2, o que levou ao valor -1,00 m/min.
Raio-X da questão
velocidade da sombra
avaliacao
cotangente e ângulos · taxa de variação
Revisar derivadas e relações trigonométricas.
Confundir a relação entre a cotangente e a taxa de variação, resultando em um sinal incorreto na resposta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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