Um objeto compacto tem massa M = 8,0×10^30 kg e raio R = 1,2×10^4 m. Calcule o raio de Schwarzschild R_s =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um objeto compacto tem massa M = 8,0×10^30 kg e raio R = 1,2×10^4 m. Calcule o raio de Schwarzschild R_s = 2GM/c^2 (G = 6,67×10^-11 m^3·kg^-1·s^-2, c = 3,0×10^8 m/s) e determine se é um buraco negro comparando R e R_s.
- A) O objeto é um buraco negro porque R = R_s.
- B) R_s ˜ 1,0×10^4 m, um erro de digitação.
- C) R_s ˜ 2,5×10^4 m, maior que R.
- D) R_s ˜ 1,19×10^4 m; como R = 1,20×10^4 m > R_s, não é buraco negro.
- E) R_s é irrelevante; todos os objetos são buracos negros.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule o numerador de R_s: 2 x 6,67×10^-11 x 8,0×10^30 = 106,72×10^19 = 1,0672×10^21.
- Calcule c^2 = (3,0×10^8)^2 = 9,0×10^16. Divida: R_s = 1,0672×10^21 / 9,0×10^16 = 1,186×10^4 m, ou seja, aproximadamente 1,19×10^4 m.
- Compare com o raio do objeto: R = 1,20×10^4 m é maior que R_s ≈ 1,19×10^4 m. Como o objeto está com a superfície acima do raio de Schwarzschild, ele não é um buraco negro. Isso confirma a alternativa D, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) R e R_s não são iguais (1,20×10^4 m e 1,19×10^4 m), então a conclusão de buraco negro não se sustenta. B) O valor 1,0×10^4 m não resulta do cálculo, que dá cerca de 1,19×10^4 m, e não há erro de digitação no enunciado. C) O valor 2,5×10^4 m é um resultado incorreto do cálculo, pois o valor correto é cerca de 1,19×10^4 m, que é menor que R. E) Nem todo objeto é buraco negro; a comparação entre R e R_s é justamente o critério que separa os dois casos.
- Conclusão: R_s ≈ 1,19×10^4 m e R = 1,20×10^4 m, logo R > R_s e o objeto não é buraco negro.
💡 Dica: Calcule R_s e compare com R.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que R e R_s são iguais porque os valores são muito próximos, tratando aproximação como igualdade exata. Ele não comparou os valores numéricos com precisão.
O aluno errou o cálculo de R_s, provavelmente no expoente de 10 ou na multiplicação, e concluiu que o resultado não bate com a ordem de grandeza. Em vez de revisar a conta, atribuiu o desvio a um erro no enunciado.
O aluno calculou R_s com erro procedimental, possivelmente ao dividir por c em vez de c^2 ou ao errar o expoente, e obteve um valor maior que R. Assim, concluiu erroneamente que o objeto é buraco negro.
Por que engana: Confundir a comparação entre R e R_s, afirmando que o objeto é um buraco negro quando R é maior que R_s.
R_s = 2GM/c^2 = 2·6,67×10^-11·8,0×10^30/(3,0×10^8)^2 ˜ 1,19×10^4 m. Como R (1,20×10^4 m) é maior que R_s, o objeto não está dentro do raio de Schwarzschild.
O aluno pensa que a noção de raio de Schwarzschild não se aplica a objetos comuns e que qualquer objeto colapsa em buraco negro. Ele usa a intuição de que tudo é 'estranho' no espaço, sem conhecer o critério de comparação entre R e R_s.
Raio-X da questão
raio de Schwarzschild
avaliacao
cálculo de raio de Schwarzschild · leis da gravitação
Revisar a fórmula do raio de Schwarzschild e suas implicações.
Confundir a comparação entre R e R_s, afirmando que o objeto é um buraco negro quando R é maior que R_s.
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pensamento_critico
cientifico
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