No plano cartesiano, considere os pontos A(-3,2), B(5,-4) e C(1,6). a) Determine, sem usar fórmulas prontas, o…

Questão

No plano cartesiano, considere os pontos A(-3,2), B(5,-4) e C(1,6). a) Determine, sem usar fórmulas prontas, o ponto médio M do segmento AB, justificando a construção. b) Calcule, sem usar fórmula pronta, a distância entre B e C apresentando o triângulo retângulo que admite aplicação do Teorema de Pitágoras. c) Com as informações obtidas, determine o perímetro do triângulo ABC (deixe o resultado em forma exata).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Para achar o ponto médio M de AB raciocinamos pelas projeções em x e y: o ponto médio tem abscissa entre -3 e 5, equidistante de ambos; entre -3 e 5 o valor central é (-3+5)/2 = 1. Para a ordenada, entre 2 e -4 o valor central é (2+(-4))/2 = -1. Logo M(1,-1). Verificação: distância horizontal AM: 1-(-3)=4 e MB: 5-1=4; vertical AM: 2-(-1)=3 e MB: -1-(-4)=3, iguais em cada direção. b) Para BC construímos um triângulo retângulo usando projeções horizontais e verticais: de B(5,-4) a C(1,6) a diferença horizontal é |5-1|=4 e a diferença vertical é |-4-6|=10. Assim BC é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 4 e 10; pelo Teorema de Pitágoras BC = v(4^2+10^2) = v(16+100) = v116 = 2v29. c) Calculamos as demais distâncias: AB: diferenças 8 (horizontal) e 6 (vertical) ? AB = v(8^2+6^2) = v(64+36) = v100 = 10. AC: diferenças 4 e 4 ? AC = v(4^2+4^2) = v32 = 4v2. Perímetro P = AB + BC + CA = 10 + 2v29 + 4v2 (forma exata).

Explicação

O ponto médio M é encontrado ao calcular a média das coordenadas dos pontos A e B, garantindo que M esteja equidistante de ambos. A distância entre B e C é obtida utilizando o Teorema de Pitágoras, que se aplica ao triângulo formado pelas projeções dos pontos no plano cartesiano. O perímetro do triângulo ABC é a soma das distâncias dos lados, expressas em forma exata, refletindo a relação geométrica entre os pontos.

Raio-X da questão

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