Matemática9º anoBNCC EF09MA16Média⏱ longo

No plano cartesiano, considere o triângulo com vértices A(0,0), B(6,0) e C(2,4). Sem o uso de fórmulas…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA16

Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo com vértices A(0,0), B(6,0) e C(2,4). Sem o uso de fórmulas prontas, determine: a) o ponto médio M de BC; b) os comprimentos dos lados AB, BC e CA; c) o perímetro do triângulo.

A) M(4,2). Comprimentos: AB=6, BC=4v2, CA=2v5. Perímetro = 6 + 4v2 + 2v5.
B) M(0,4); AB=10, BC=3v5, CA=8
C) M(3,2); AB=8, BC=4, CA=2v2
D) M(4,4); AB=4, BC=3v2, CA=6
E) M(6,0); AB=6, BC=2v8, CA=3

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Ponto médio de BC. Para B(6,0) e C(2,4), a média das abscissas é (6+2)/2 = 4 e a média das ordenadas é (0+4)/2 = 2. Logo M(4,2).
Comprimento de AB. A e B estão sobre o eixo x, então a distância é a diferença das abscissas: |6 - 0| = 6.
Comprimento de BC. Diferenças: dx = 2 - 6 = -4 e dy = 4 - 0 = 4. Distância = raiz de (16 + 16) = raiz de 32 = 4 raiz de 2.
Comprimento de CA. Diferenças: dx = 2 - 0 = 2 e dy = 4 - 0 = 4. Distância = raiz de (4 + 16) = raiz de 20 = 2 raiz de 5.
Perímetro. Soma dos lados: 6 + 4 raiz de 2 + 2 raiz de 5.
Conferência com o gabarito. Todos os resultados coincidem com a alternativa A, que é a correta. Alternativa B: o ponto M(0,4) está errado, pois a média das abscissas de B e C não é 0, e AB=10 não corresponde à distância entre A e B. Alternativa C: M(3,2) mistura coordenadas de pontos diferentes, e AB=8 contradiz a distância 6 entre A e B. Alternativa D: M(4,4) acerta a abscissa, mas a ordenada não foi dividida por 2, e AB=4 está errado. Alternativa E: M(6,0) é o próprio vértice B, não o ponto médio, e CA=3 não corresponde à distância entre A e C.

💡 Dica: Calcule as distâncias usando o teorema de Pitágoras.

Alternativa por alternativa

A Correta

Média de coordenadas de B(6,0) e C(2,4): ((6+2)/2,(0+4)/2)=(4,2). AB: diferença só em x ? 6. BC: diferenças x=4,y=-4 ? v(4²+(-4)²)=v32=4v2. CA: diferenças x=-2,y=-4 ? v(4+16)=v20=2v5. Somando obtém-se o perímetro.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

Trata o ponto médio como uma soma ou combinação arbitrária das coordenadas e calcula AB somando as coordenadas em vez de subtrair as abscissas. Também não aplica a distância entre pontos com dois eixos corretamente.

Por que engana: Confundir a fórmula do ponto médio e calcular incorretamente as distâncias entre os vértices do triângulo.

C Erradaerro: Procedimental

Combina coordenadas de pontos diferentes na fórmula do ponto médio e obtém AB=8 em vez de 6, sugerindo que o aluno não calculou a diferença entre as abscissas de A e B corretamente.

D Erradaerro: Procedimental

Calcula corretamente a abscissa média, mas esquece de dividir a soma das ordenadas por 2 e também erra AB, indicando descuido na aplicação do método.

E Erradaerro: Conceitual

Confunde ponto médio com um dos vértices do segmento, tomando B(6,0) como M, e calcula CA como 3, sem aplicar a distância entre dois pontos.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

triângulo no plano cartesiano

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

cálculo de distâncias · ponto médio de segmentos

📚 Reveja

Revisar cálculo de distâncias e perímetro de triângulos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a fórmula do ponto médio e calcular incorretamente as distâncias entre os vértices do triângulo.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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