DISD: Descreva, por escrito e em formato de fluxograma lógico, um algoritmo que receba um inteiro n=3 e um…

Questão

DISD: Descreva, por escrito e em formato de fluxograma lógico, um algoritmo que receba um inteiro n=3 e um segmento de medida s>0 e: (a) determine se o polígono regular de n lados é construível com régua e compasso; (b) se construível, produza as etapas (régua/compasso) e um procedimento alternativo em software para efetuar a construção automática.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Entrada: inteiro n=3 e segmento de comprimento s>0. 1) Decisão de construtibilidade: a) fatorar n em 2^k·m onde m é ímpar; b) fatorar m em primos distintos p1,...,pr; c) verificar se cada p_i é primo de Fermat (elementos da forma F_j = 2^{2^j}+1; usar lista conhecida {3,5,17,257,65537} ou teste de primalidade para F_j). Se m = 1 ou produto de primos de Fermat distintos, marque "construível"; caso contrário, marcar "não construível" e terminar. Fluxograma: Início ? Ler n,s ? Fatorar n ? Testar condição de Fermat ? Rama: não construível (saida) / construível (continuar). 2) Construção geométrica (régua e compasso) quando construível: a) calcular o raio R que corresponderá ao lado s: R = s/(2 sin(p/n)). (No processo clássico, monta-se geometricamente o ângulo central 2p/n; fornecer R numérico facilita o traçado.) b) com compasso, traçar círculo de raio R a partir de um ponto O; marcar primeiro vértice A sobre o círculo. c) construir o ângulo central 2p/n: decompor 2p/n em somas de ângulos construíveis (usando construções para ângulos que correspondem a polígonos de números de Fermat) ou dividir sucessivamente o círculo por bissetriz(es) quando n contém fator 2^k; aplicar construções de polígonos regulares conhecidos (ex.: 17-ágono) conforme fatores de Fermat. d) a partir de A, transladar o arco correspondente e marcar os vértices sucessivos com compasso e régua até fechar o polígono. e) passos explícitos de régua/compasso: traçar mediatriz, interseções de círculos, bissetrizes de ângulos, transferir comprimentos s pelo compasso, etc., em ordem conforme decomposição de n. 3) Procedimento em software (pseudocódigo simplificado): Input: n, s; if not is_constructible(n): return "não construível"; R ? s/(2*sin(p/n)); O ? (0,0); V0 ? (R,0); for k from 0 to n-1 do Vk ? (R*cos(2p*k/n), R*sin(2p*k/n)); endfor desenhar polígono conectando V0..V_{n-1}; return vértices e objeto gráfico. 4) Fluxograma do software: Início ? Ler n,s ? Teste construtibilidade ? Se falso: saída ? Se verdadeiro: calcular R ? gerar vértices (fórmula trig.) ? desenhar ? saída. Observações: a etapa crítica é a verificação dos fatores de Fermat e a implementação prática das construções clássicas quando m contém primos de Fermat; para propósitos pedagógicos, pode-se incluir subrotinas prontas de construção para cada primo de Fermat conhecido (3,5,17,257,65537). No caso de construções em papel, a decomposição em potências de 2 e primos de Fermat guia quais bissetrizes e construções de ângulos utilizar.

Explicação

A explicação aborda de forma sistemática os critérios de construtibilidade de polígonos regulares, utilizando a fatoração de n e a verificação dos primos de Fermat, que são fundamentais para determinar se um polígono pode ser construído com régua e compasso. Além disso, apresenta um procedimento claro para a construção geométrica e um pseudocódigo que facilita a implementação em software, garantindo que todos os passos necessários sejam seguidos. A inclusão de detalhes sobre as construções clássicas e a decomposição em fatores de Fermat proporciona uma compreensão abrangente do processo.

Raio-X da questão

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