Disserte, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que: (a) receba s>0 e inteiro n=3; (b)…

Questão

Disserte, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que: (a) receba s>0 e inteiro n=3; (b) determine se é possível construir, com régua e compasso, um polígono regular de n lados de comprimento s; (c) se possível, realize a construção (descreva passos e operações geométricas) ou indique a impossibilidade. Apresente a justificativa teórica e as fórmulas usadas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passos (algoritmo): 1) Entrada: s>0, n=3. Fatorar n = 2^k·m, com m ímpar. Teste de constructibilidade: m deve ser produto de primos da forma F = 2^{2^t}+1 (primos de Fermat) distintos; se não, devolver “impossível com régua e compasso”. (Critério de Gauss.) 2) Se possível: calcular R = s/(2 sin(p/n)). 3) Construção do círculo: com régua e compasso traçar centro O e círculo de raio R. 4) Construção do ângulo central 2p/n: decompor a construção de 2p/n usando operações de bisseção de ângulos e os procedimentos clássicos conhecidos para polígonos regulares cuja ordem é primo de Fermat; implementar sequência de construções elementares (traçar mediatrizes, transpor segmentos, bisseção de ângulo) para obter o ângulo 2p/n a partir de ângulos construíveis. Fluxograma: entrada ? fatoração e teste ? se não construtível terminar ? calcular R ? traçar círculo ? construir ângulo 2p/n (ou sequência de rotações) ? marcar vértices sucessivos por rotações de 2p/n ? ligar vértices. 5) Justificativa breve: a relação s=2R sin(p/n) dá R; o critério de Gauss determina quando o ângulo 2p/n é construível por operações de régua e compasso; quando é construível, os passos elementares de régua e compasso permitem obter o ângulo e, portanto, os vértices equiespaçados na circunferência.

Explicação

A resposta aborda de forma clara os critérios de constructibilidade de polígonos regulares, utilizando o teorema de Gauss e a relação entre o comprimento do lado e o raio do círculo circunscrito. Além disso, descreve os passos práticos para a construção do polígono, incluindo a bisseção de ângulos e a utilização de operações geométricas clássicas. A justificativa teórica está alinhada com os conceitos de geometria clássica, assegurando a validade do procedimento proposto.

Raio-X da questão

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