Descreva, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que, recebendo um segmento de medida s>0, um…

Questão

Descreva, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que, recebendo um segmento de medida s>0, um ponto centro O e um inteiro n=3, construa um polígono regular convexo de n lados com lado de comprimento s. O algoritmo deve conter (A) procedimento com régua e compasso (exato se possível; caso contrário método de aproximação com critério de erro) e (B) procedimento em software que retorna as coordenadas cartesianas dos vértices. Indique critérios de parada e controle de erro.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (passos essenciais e fluxograma lógico): Entrada: s>0, ponto O( Ox,Oy ), inteiro n=3, tolerância tol>0 (para aproximação), ângulo inicial a0 (orientação). Cálculo comum (teoria): R = s/(2·sin(p/n)). Se sin(p/n) = 0 ou inválido, abortar. A) Procedimento com régua e compasso: 1. Verificar se n é um grau constructível por régua e compasso (n = 2^k · product de primos de Fermat distintos). Se sim: construir ângulo central 2p/n por bisseções e construções conhecidas; construir R geometricamente a partir de s usando relações trigonométricas construtíveis; com centro O traçar circunferência de raio R. 2. Marcar um ponto inicial P0 sobre a circunferência (por exemplo, interseção de uma semirreta de O). 3. Com compasso ajustado em abertura s, a partir de P0 marcar sequencialmente os pontos Pi+1 como interseção da circunferência com o arco de raio s centrado em Pi; repetir até obter n vértices. Verificar fechamento: distância entre Pn-1 e P0 deve ser ˜ s. 3b. Se n não for construtível: usar método de aproximação para R: escolha intervalo [Rmin,Rmax], por exemplo Rmin = s/2, Rmax = 10·s; aplicar busca binária sobre R; a cada iteração traçar (geometricamente ou por cálculo auxiliar) uma circunferência de raio Rtest e medir o número de passos de corda s até retornar ao ponto inicial; ajustar Rmin/Rmax até que |dist(Pn-1,P0)-s|<tol. Critério de parada: erro geométrico < tol ou número máximo de iterações atingido. Fluxograma (esquema lógico): Início ? Ler s,O,n,tol ? Calcular R teórico ? Condição: n construtível? ? (Sim) Construir ângulo 2p/n e circunferência de raio R ? Marcar P0 ? Repetir marcar Pi com compasso (i=1..n-1) ? Verificar erro ? Fim ? (Não) Executar busca binária em R ? para cada Rtest tentar marcar vértices por passo de corda s ? testar fechamento e ajustar Rtest ? se erro<tol então aceitar ? Fim. B) Procedimento em software (pseudocódigo): 1. theta ? 2p / n 2. R ? s / (2·sin(p / n)) 3. Para i de 0 a n-1: xi ? Ox + R·cos(a0 + i·theta); yi ? Oy + R·sin(a0 + i·theta) 4. Opcional: calcular erro máximo = max_i |dist((xi,yi),(x_{i+1},y_{i+1})) - s|; se erro>tol, ajustar a0 ou sinal numericamente ou reduzir tol. 5. Retornar lista de vértices [(x0,y0),...,(x_{n-1},y_{n-1})]. Critérios de controle de erro e observações: - Em construções exatas, operação só é totalmente executável quando n é construtível; caso contrário aceitar aproximações com tol informado. - Em software, usar precisão em ponto flutuante adequada e verificar fechamento (distância entre último e primeiro vértice). Implementar verificação e normalização numérica (por exemplo, corrigir R usando média das distâncias observadas). - O fluxograma deve explicitar: início ? entrada ? cálculo R ? ramificação (construtível/aprox) ? repetição de passos de marcação ? verificação de erro ? saída/vértices ? fim.

Explicação

A solução apresentada aborda de forma clara e sistemática a construção de um polígono regular, diferenciando os procedimentos exatos e aproximados conforme a viabilidade da construção. O uso de critérios de parada e controle de erro garante a precisão e a confiabilidade dos resultados, tanto na construção geométrica quanto na implementação em software. Além disso, o fluxograma proporciona uma visualização lógica do algoritmo, facilitando a compreensão dos passos necessários para a execução.

Raio-X da questão

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