Num círculo de raio R, uma corda de comprimento s corresponde a um lado de um polígono regular inscrito. Qual…

Questão

Num círculo de raio R, uma corda de comprimento s corresponde a um lado de um polígono regular inscrito. Qual é o ângulo central ? (em radianos) subtendido por essa corda em função de s e R?

1. A) ? = R / (2s)
2. B) ? = arcsin(2s / R)
3. C) ? = s / R
4. D) ? = 2 · tan(s / R)
5. E) ? = 2·arcsin( s / (2R) )

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Considere o círculo de raio R e a corda de comprimento s, que é um lado do polígono regular inscrito. Seja θ o ângulo central que essa corda subtende. Passo 2: Trace os dois raios que ligam o centro às extremidades da corda. Forma-se um triângulo isósceles com dois lados iguais a R e base igual a s. Passo 3: Ao traçar a altura a partir do centro, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos. Cada um tem hipotenusa R, cateto oposto metade da corda, ou seja s/2, e ângulo θ/2 no centro. Passo 4: Pela relação do seno, sen(θ/2) = (s/2) / R = s / (2R). Passo 5: Portanto θ/2 = arcsin(s / (2R)) e θ = 2·arcsin(s / (2R)). Esse é o resultado da alternativa E, que confere com o gabarito oficial. Passo 6: Verificação da alternativa A: R / (2s) não tem dimensão de ângulo coerente com a geometria e não corresponde à relação correta. Alternativa B: arcsin(2s/R) estaria associado a sen θ = 2s/R, o que é incorreto, pois a corda relaciona-se com sen(θ/2), não com sen θ, e a razão está invertida. Alternativa C: s/R é o comprimento do arco dividido pelo raio, válido para ângulo em radianos quando se fala de arco, não de corda. Alternativa D: 2·tan(s/R) não surge da relação entre corda, raio e ângulo central, que é trigonométrica de seno. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a E, θ = 2·arcsin(s / (2R)).

💡 Dica: Utilize a relação entre corda, raio e ângulo central.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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