Considerando apenas polígonos regulares com número inteiro de lados 3=n=16, quantos valores de n são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considerando apenas polígonos regulares com número inteiro de lados 3=n=16, quantos valores de n são construtíveis com régua e compasso sabendo apenas a medida do lado s>0? Liste esses n.
- A) Os valores construtíveis são: n = 2, 7, 9, 11.
- B) Todos os valores de n de 3 a 16 são construtíveis.
- C) Há 9 valores: n = 3,4,5,6,8,10,12,15,16.
- D) Apenas n = 3, 5, 6, 9, 14 são construtíveis.
- E) Os valores são: n = 3, 4, 5, 8, 16.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Lembre-se do teorema de Gauss-Wantzel: um polígono regular de n lados é construtível com régua e compasso se e somente se n = 2^k vezes o produto de primos de Fermat distintos (com k maior ou igual a 0). Os primos de Fermat conhecidos são 3, 5, 17, 257 e 65537. Como o enunciado pede apenas 3 menor ou igual a n menor ou igual a 16, basta analisar esses valores. Dar apenas o lado s não altera a resposta, pois, a partir do lado dado, a construção segue as mesmas regras.
- Verifique cada n de 3 a 16. Construtíveis: 3 (primo de Fermat), 4 (2^2), 5 (primo de Fermat), 6 (2 vezes 3), 8 (2^3), 10 (2 vezes 5), 12 (2^2 vezes 3), 15 (3 vezes 5) e 16 (2^4). Não construtíveis: 7, 9 (3^2, pois o primo 3 não pode se repetir), 11, 13 e 14 (2 vezes 7, e 7 não é primo de Fermat).
- Contando, temos 9 valores construtíveis: n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 e 16. Isso confirma a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada porque inclui 2 (fora do intervalo) e 7, 9 e 11, que não são construtíveis. A alternativa B está errada porque nem todo polígono é construtível, como o heptágono (n = 7). A alternativa D está errada porque inclui 9 (3^2, com primo repetido) e 14 (2 vezes 7), e omite 4, 8, 10, 12, 15 e 16. A alternativa E está errada porque omite 6, 10, 12 e 15, que são produtos válidos de potências de 2 com primos de Fermat distintos.
💡 Dica: Identifique os polígonos regulares construtíveis e liste seus lados.
Alternativa por alternativa
O aluno parece confundir construtibilidade com a propriedade de números primos ou ímpares, e não aplica a condição dos primos de Fermat. Também inclui 2, que nem está no intervalo proposto.
O aluno acredita que, com régua e compasso, sempre é possível dividir a circunferência em qualquer número de partes iguais. Ignora o teorema de Gauss-Wantzel, que restringe os casos possíveis.
n é construtível iff n = 2^k·? p_i, com p_i primos de Fermat distintos. Para n=16 os fatores permitidos geram exatamente 3,4,5,6,8,10,12,15,16.
O aluno aplica mal a regra, aceitando 9 (3 elevado a 2, com primo repetido) e 14 (2 vezes 7, sendo 7 não de Fermat), e deixa de fora valores como 4, 8, 10, 12, 15 e 16. Mostra que não domina a estrutura 2^k vezes produto de primos de Fermat distintos.
Por que engana: O aluno pode confundir os critérios de construtibilidade e incluir valores que não são possíveis, como n = 7 ou n = 11.
O aluno sabe que potências de 2 e primos de Fermat isolados são construtíveis, mas não percebe que produtos válidos desses fatores também são, como 6, 10, 12 e 15.
Raio-X da questão
polígonos construtíveis
avaliacao
polígonos regulares · construtibilidade com régua e compasso
Revisar as condições para a construção de polígonos regulares com régua e compasso.
O aluno pode confundir os critérios de construtibilidade e incluir valores que não são possíveis, como n = 7 ou n = 11.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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