Pode-se construir com régua e compasso um polígono regular de n = 9 lados? Fundamente a resposta usando a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Pode-se construir com régua e compasso um polígono regular de n = 9 lados? Fundamente a resposta usando a condição de construtibilidade baseada em fatores primos (primos de Fermat).
- A) Sim, todos os números são construtíveis
- B) Sim, porque 9 = 2^3
- C) Não, porque 9 = 2 × 3
- D) Sim, 9 é a soma de primos de Fermat
- E) Não. 9 = 3^2; para ser construtível n deve ser da forma 2^k vezes produto de primos de Fermat distintos, o que não ocorre para 9.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Lembre o teorema de Gauss-Wantzel: um polígono regular de n lados é construível com régua e compasso se, e somente se, n = 2^k vezes o produto de primos de Fermat distintos (k maior ou igual a 0). Os primos de Fermat conhecidos são da forma 2^(2^m) + 1: 3, 5, 17, 257 e 65537. Passo 2: Fatore n = 9 = 3^2. O fator 2^k é 2^0 = 1, pois 9 é ímpar. O fator 3 é um primo de Fermat (2^1 + 1), mas aparece elevado à potência 2, e a condição exige primos de Fermat distintos, sem repetição. Passo 3: Como o 3 aparece duas vezes, a condição não se cumpre e não é possível construir com régua e compasso o polígono regular de 9 lados (eneágono). Passo 4: Por isso a alternativa E está correta, e o gabarito oficial está certo. A alternativa A está errada, pois nem todo número é construível. A alternativa B está errada, pois 2^3 é 8, não 9, e 9 não é potência de 2. A alternativa C está errada porque 9 não é igual a 2 × 3 (isso seria 6), e o 6 é construível. A alternativa D está errada porque a construtibilidade não depende de somar primos de Fermat; o critério é a fatoração do n.
💡 Dica: Analise a condição de construtibilidade para polígonos regulares.
Alternativa por alternativa
Acredita que qualquer polígono regular pode ser construído com régua e compasso, achando que basta traçar a circunferência e dividi-la em partes iguais.
Confunde 9 com uma potência de 2 e calcula 2^3 como 9, quando na verdade 2^3 = 8; além disso, não aplica a condição de primos de Fermat.
Faz a conta errada 2 × 3 = 9 (o produto é 6) e conclui que a não construtibilidade vem desse produto, quando o problema está na repetição do fator 3.
Por que engana: Confundir a condição de construtibilidade, acreditando que todos os números são construtíveis sem considerar os primos de Fermat.
Acha que a construtibilidade depende de escrever n como soma de primos de Fermat, quando o critério de Gauss-Wantzel usa a fatoração por produto de primos de Fermat distintos.
Teorema: o n-gono regular é construtível com régua e compasso sse n = 2^k·p1·p2·... com p_i primos de Fermat distintos. Como 9 = 3^2 contém potência de 3 e 3 não é primo de Fermat, o nonágono não é construtível.
Raio-X da questão
polígonos regulares
avaliacao
condição de construtibilidade · fatores primos de Fermat
Revisar as condições de construtibilidade de polígonos com régua e compasso.
Confundir a condição de construtibilidade, acreditando que todos os números são construtíveis sem considerar os primos de Fermat.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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