Desenvolva, por escrito e em forma de fluxograma textual, um algoritmo que, dado s>0 e inteiro n=3, construa…

Questão

Desenvolva, por escrito e em forma de fluxograma textual, um algoritmo que, dado s>0 e inteiro n=3, construa um polígono regular de n lados de comprimento do lado s. O algoritmo deve conter duas ramificações: (A) construção com régua e compasso quando n for construtível; (B) construção numérica em software quando n não for construtível. Forneça todos os passos necessários e critérios de decisão.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (passos e fluxograma textual): Entrada: s>0, inteiro n=3. 1) Decidir constructibilidade: se n = 2^k · p1 · p2 · ... (pi são primos de Fermat distintos) então ramos = RÉGUA-COMPASSO; senão ramo = SOFTWARE. Ramo A — régua e compasso (n construtível): A1) Escolha segmento base AB de comprimento s. A2) Construa circunferência com centro A e raio AB; marque ponto B. A3) Construa ponto O tal que AO = R, onde R é obtido pela construção algébrica geométrica equivalente (usar construções conhecidas para polígonos de fatores de Fermat ou dividir ângulo de 360° em 2^k e combinar construções básicas). A4) A partir do centro O trace n raios igualmente espaçados construindo o ângulo central 2p/n por sucessivas bisseções e construções específicas (usar construção do polígono regular correspondente, ex.: triângulo, pentágono, heptadecágono conforme aplicável). A5) Interseções dos raios com a circunferência definem vértices; ligue vértices com segmentos de comprimento s. Ramo B — software (n não construtível): B1) Calcule ? = 2p/n e R = s/(2·sin(p/n)). B2) Defina centro O em coordenadas (0,0) e escolha orientação inicial, por ex. primeiro vértice em (R,0). B3) Para i = 0..n-1 calcule vértice Vi = (R·cos(i·?), R·sin(i·?)). B4) Conecte Vi a V_{i+1} e feche o polígono. Fluxograma textual: Início ? ler s,n ? verificar condição de Fermat ? [Se sim] ? executar passos A ? Fim ; [Se não] ? executar passos B ? Fim. Observações: indicar no algoritmo as construções padrão (bisseção de ângulo, construção de perpendicular, interseção de circunferências). Para implementação numérica, tratar precisão e arredondamento; para n muito grande, usar aproximação numérica de sin e cos e validar que segmentos resultantes têm comprimento ˜ s.

Explicação

A resposta apresenta um algoritmo claro e estruturado que aborda a construção de polígonos regulares com base na construtibilidade, utilizando duas abordagens distintas conforme a condição de Fermat. As etapas são detalhadas para cada ramo, garantindo que tanto a construção com régua e compasso quanto a numérica em software sejam executadas de maneira precisa. Além disso, o fluxograma textual fornece uma visão geral do processo, facilitando a compreensão do fluxo lógico do algoritmo.

Raio-X da questão

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