Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que receba s>0 (medida do lado) e inteiro n=3 e…

Questão

Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo que receba s>0 (medida do lado) e inteiro n=3 e construa um polígono regular de n lados e lado s. O algoritmo deve: (a) decidir se n é construível com régua e compasso (n = 2^k·? p_i, p_i primos de Fermat distintos); (b) quando construível, indicar passos de construção com régua e compasso; (c) quando não, fornecer procedimento exato em software que calcule R = s/(2 sin(p/n)), ? = 2p/n e gere os vértices por rotação (x_i = R cos(i?), y_i = R sin(i?)). Forneça todos os passos, checagens e critério de término.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (algoritmo escrito + descrição do fluxograma): 1) Entrada: s>0, inteiro n=3, tolerância e>0 (para software). Calcule ? = 2p/n e R = s/(2 sin(p/n)). 2) Teste de construtibilidade: fatorar n = 2^k·m. Se m = ? p_i onde cada p_i é primo de Fermat distinto (3,5,17,257,65537...), marcar “construível”; caso contrário marcar “não construível”. 3A) Caso construível (régua e compasso): a) Construir segmento de comprimento R (procedimento: usar semelhança/transformações a partir de s e relações trigonométricas; por exemplo, construir triângulo isósceles de vértices O,A,B tal que AB = s e ?AOB = 2p/n; obter R por relações geométricas ou construir apótema a = s/(2 tan(p/n)) e aplicar retificação). b) Com centro O e raio R traçar circunferência. Escolher ponto V0 na circunferência. Construir ângulo central ? por sucessivas bissecções e por construções conhecidas para fatores de Fermat (ex.: pentágono regular para n=5) até obter ângulo ? exato; marcar V1, V2,...,V_{n-1} por rotação geométrica. Ligar vértices sucessivos por segmentos. c) Verificação: medir segmento ViVi+1; deve ser = s (exatidão geométrica). Fluxograma: início ? ler s,n ? calcular ?,R ? teste de construtibilidade ? ramo “sim” ? construir R ? desenhar circunferência ? construir ângulo ? (bissecções e construções específicas) ? marcar vértices ? fim. 3B) Caso não construível (uso de software): a) Calcular numericamente R = s/(2 sin(p/n)). b) No plano cartesiano, escolher O=(0,0) e V0=(R,0). Para i=0,...,n-1 compute V_i = (R cos(i?), R sin(i?)). (equivalente a aplicar matriz rotação [cos? -sin?; sin? cos?] iterativamente). c) Conectar V_i a V_{i+1} e verificar comprimento |V_iV_{i+1}|; se | |V_iV_{i+1}| - s | > e, ajustar R numericamente (por exemplo Newton ou bisseção sobre R usando função f(R)=2R sin(p/n)-s) até tolerância. Fluxograma: início ? ler s,n,e ? calcular ?,R ? teste de construtibilidade ? ramo “não” ? calcular V_i por rotação ? ajustar R se necessário ? desenhar polígono ? fim. 4) Saída: polígono descrito geométrica e/ou coordenadas dos vértices. Observações: para implementação com régua e compasso, documentar construções auxiliares usadas (bissecção de ângulo, construção de ângulos conhecidos — triângulos equilátero, pentágono etc.). Para validação, apresentar prova algébrica do R = s/(2 sin(p/n)) e da relação apótema a = s/(2 tan(p/n)).

Explicação

O algoritmo apresentado aborda de forma sistemática a construção de polígonos regulares, diferenciando entre casos construíveis e não construíveis com régua e compasso. Ele inclui passos claros para a construção geométrica, além de um método alternativo utilizando software para casos não construíveis, garantindo precisão na geração dos vértices. A inclusão de verificações e ajustes numéricos assegura que o resultado final atenda aos requisitos de exatidão e tolerância.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo geral que, dada a medida do lado s>0 e um inteiro n=3…
• Descreva, por escrito e por meio de um fluxograma um algoritmo para construir um polígono regular convexo de n lados…
• Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para construir um polígono regular de n lados a partir da…
• Elabore, por escrito e em fluxograma, um algoritmo que receba s>0 e inteiro n=3; verifique se o n-gono regular é…
• Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo detalhado que, dada a medida do lado s>0 e um inteiro n=3…
• Descreva, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo geral para construir um polígono regular convexo de n =…

Todas as questões de Polígonos regulares